1.1 Beton detaylarının yapısal tasarımına genel giriş

Beton elemanların tasarımı ve değerlendirmesi normalde kesit (1D-eleman) veya nokta (2D-eleman) düzeyinde gerçekleştirilir. Bu prosedür, yapısal tasarıma ilişkin tüm standartlarda, örneğin (EN 1992-1-1 veya ACI 318-19) içinde açıklanmakta olup günlük yapısal mühendislik uygulamalarında kullanılmaktadır. Ancak bu prosedürün yalnızca Bernoulli-Navier düzlemsel gerinim dağılımı hipotezinin geçerli olduğu bölgelerde (B-bölgeleri olarak adlandırılır) kabul edilebilir olduğu her zaman bilinmemekte veya gözetilmemektedir. Bu hipotezin geçerli olmadığı yerler süreksizlik veya bozulmuş bölgeler (D-Bölgeleri) olarak adlandırılır. 1D-elemanların B ve D bölgelerine ilişkin örnekler (Şekil 1)'de verilmiştir. Bunlar; mesnet bölgeleri, tekil yüklerin uygulandığı kısımlar, kesitte ani değişimin meydana geldiği konumlar, boşluklar vb. yerlerdir. Betonarme yapıların tasarımında perdeler, köprü diyaframları, konsollar vb. gibi pek çok başka D-Bölgesiyle de karşılaşılmaktadır. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

Geçmişte, süreksizlik bölgelerinin boyutlandırılmasında yarı-ampirik tasarım kuralları kullanılmaktaydı. Neyse ki bu kuralların yerini büyük ölçüde, günümüz tasarım yönetmeliklerinde yer alan ve tasarımcılar tarafından sıklıkla kullanılan Çubuk model yöntemi (Schlaich ve diğerleri, 1987) ve gerilme alanları (Marti 1985) almıştır. Bu modeller mekanik açıdan tutarlı ve güçlü araçlardır. Gerilme alanlarının genel olarak sürekli veya süreksiz olabileceğini ve Çubuk model yönteminin süreksiz gerilme alanlarının özel bir durumu olduğunu belirtmek gerekir.

Son on yıllarda hesaplama araçlarının gelişimine karşın, Çubuk model yöntemi özünde hâlâ elle hesap olarak kullanılmaktadır. Gerçek yapılara uygulanması, iterasyon gerektirmesi ve birden fazla yük kombinasyonunun göz önünde bulundurulması nedeniyle zahmetli ve zaman alıcıdır. Ayrıca bu yöntem, kullanılabilirlik kriterlerinin (şekil değiştirmeler, çatlak genişlikleri vb.) doğrulanması için uygun değildir.

İnşaat mühendislerinin D-bölgelerini tasarlamak için güvenilir ve hızlı bir araca olan ilgisi, düzlem içi yüklemeye maruz betonarme elemanların otomatik tasarımına ve değerlendirmesine olanak tanıyan, bilgisayar destekli gerilme alanı tasarımına yönelik yeni bir yöntem olan Uyumlu Gerilme Alanı Yöntemi'nin geliştirilmesi kararına yol açmıştır.

Uyumlu Gerilme Alanı Yöntemi (CSFM), klasik gerilme alanı çözümlerinin kinematik değerlendirmelerle tamamlandığı, yani yapı genelinde gerinim durumunun hesaplandığı, sürekli Sonlu Elemanlar Yöntemi tabanlı bir gerilme alanı analiz yöntemidir. Bu sayede betonun etkin basınç dayanımı, basınç yumuşamasını dikkate alan basınç alanı analizlerinde (Vecchio ve Collins 1986; Kaufmann ve Marti 1998) ve EPSF yönteminde (Fernández Ruiz ve Muttoni 2007) olduğuna benzer biçimde, enine gerinim durumuna göre otomatik olarak hesaplanabilmektedir. Bunun yanı sıra CSFM, çekme rijitliğini de göz önünde bulundurarak elemanlara gerçekçi rijitlikler atamakta ve önceki yaklaşımlar tarafından tutarlı biçimde ele alınmayan tüm tasarım yönetmeliği hükümlerini (kullanılabilirlik ve şekil değiştirme kapasitesi konuları dahil) kapsamaktadır. CSFM, tasarım standartlarının beton ve donatı için öngördüğü yaygın tek eksenli gerilme-gerinim bağıntılarını kullanmaktadır. Bu bağıntılar tasarım aşamasında bilindiğinden kısmi güvenlik katsayısı yöntemi uygulanabilmektedir. Dolayısıyla tasarımcıların, doğrusal olmayan Sonlu Elemanlar Yöntemi analizlerinde tipik olarak gereken ek ve çoğu zaman keyfi malzeme özelliklerini girmesi gerekmemekte; bu durum yöntemi mühendislik uygulamaları için son derece uygun kılmaktadır.

Bilgisayar destekli gerilme alanlarının inşaat mühendisleri tarafından kullanımını yaygınlaştırmak amacıyla bu yöntemlerin kullanıcı dostu yazılım ortamlarında uygulamaya konulması gerekmektedir. Bu doğrultuda CSFM, DR-Design Eurostars-10571 projesi kapsamında ETH Zürih ile IDEA StatiCa yazılım şirketi tarafından ortaklaşa geliştirilen yeni ve kullanıcı dostu ticari bir yazılım olan IDEA StatiCa Detail'de hayata geçirilmiştir.

1.3 Donatı için tasarım araçları

İş akışı ve hedefler

CSFM'deki donatı tasarım araçlarının amacı, tasarımcıların donatı çubuklarının konumunu ve gerekli miktarını verimli bir şekilde belirlemesine yardımcı olmaktır. Bu süreçte kullanıcıya yardımcı olmak / rehberlik etmek için aşağıdaki araçlar mevcuttur: doğrusal hesap ve topoloji optimizasyonu.

Donatı tasarım araçları, yapının nihai doğrulamasında kullanılan modellerden daha basitleştirilmiş bünye modellerini dikkate alır. Bu nedenle, bu adımda donatının tanımlanması, nihai doğrulama adımında onaylanacak/iyileştirilecek bir ön tasarım olarak değerlendirilmelidir. Farklı donatı tasarım araçlarının kullanımı, Şekil 3'te gösterilen modelde açıklanacaktır; bu model, düzgün yayılı yüke maruz kalan değişken kesitli basit mesnetli bir kirişin bir ucundan oluşmaktadır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Doğrusal analiz

Doğrusal analiz, doğrusal elastik malzeme özelliklerini dikkate alır ve betonarme bölgedeki donatıyı ihmal eder. Bu nedenle, çekme ve basınç bölgelerinin konumları hakkında ilk bir fikir veren çok hızlı bir hesaptır. Böyle bir hesabın örneği Şekil 4'te gösterilmektedir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Topoloji optimizasyonu

Topoloji optimizasyonu, belirli bir yük konfigürasyonu için verilen bir hacimde malzemenin en uygun dağılımını bulmayı amaçlayan bir yöntemdir. Idea StatiCa Detail'de uygulanan topoloji optimizasyonu, doğrusal sonlu eleman modeli kullanır. Her sonlu eleman, kullanılan malzeme miktarını temsil eden 0 ile %100 arasında bir göreli yoğunluğa sahip olabilir. Bu eleman yoğunlukları, optimizasyon problemindeki optimizasyon parametreleridir. Elde edilen malzeme dağılımı, sistemin toplam gerinim enerjisini en aza indiriyorsa verilen yük seti için en uygun olarak kabul edilir. Tanım gereği, en uygun dağılım aynı zamanda verilen yükler için mümkün olan en büyük rijitliğe sahip geometridir.

Yinelemeli optimizasyon süreci, homojen bir yoğunluk dağılımıyla başlar. Hesap, birden fazla toplam hacim oranı (%20, %40, %60 ve %80) için gerçekleştirilir; bu da kullanıcının en pratik sonucu seçmesine olanak tanır. Elde edilen şekil, basınç çubukları ve çekme elemanlarından oluşan kafes sistemlerinden meydana gelir ve verilen yük kombinasyonları için optimum şekli temsil eder (Şekil 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Sonlu Elemanlar Yöntemi uygulamasına giriş

CSFM, betondaki sürekli gerilme alanlarını (2B sonlu elemanlar) göz önünde bulundurur; bunlara ek olarak donatıyı temsil eden ayrık "çubuk" elemanlar (1B sonlu elemanlar) kullanılır. Bu nedenle donatı, beton 2B sonlu elemanlarına yayılı olarak gömülmez; bunun yerine açıkça modellenir ve bu elemanlara bağlanır. Hesap modelinde düzlem gerilme durumu esas alınır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Hem tüm perdeler ve kirişler hem de kirişlerin detayları (parçaları) (izole süreksizlik bölgesi, aynı zamanda kırpılmış uç olarak da adlandırılır) modellenebilir. Perdeler ve tüm kirişler söz konusu olduğunda, mesnetler; (dışsal olarak) izostatik (statikçe belirli) veya hiperstatik (statikçe belirsiz) bir yapı oluşturacak şekilde tanımlanmalıdır. Kirişlerin kırpılmış uçlarındaki yük aktarımı, analiz edilen detay bölgesinde gerçekçi bir gerilme dağılımı sağlayan özel bir Saint-Venant aktarım bölgesi aracılığıyla gerçekleştirilir.

3.1 Sınır durumlar ve çatlak genişliği hesabı

CSFM kullanılarak yapının değerlendirilmesi iki farklı analizle gerçekleştirilir: biri kullanılabilirlik, diğeri ise nihai sınır durum yük kombinasyonları için. Kullanılabilirlik analizi, elemanın nihai davranışının yeterli olduğunu ve kullanılabilirlik yük seviyelerinde malzemenin akma koşullarına ulaşılmayacağını varsayar. Bu yaklaşım, sayısal kararlılığı ve hesap hızını artırmak amacıyla kullanılabilirlik analizi için basitleştirilmiş bünye modellerinin (betonun gerilme-gerinim diyagramının doğrusal dalı ile) kullanılmasına olanak tanır. Bu nedenle, nihai sınır durum analizinin ilk adım olarak gerçekleştirildiği aşağıda sunulan iş akışının kullanılması önerilmektedir.

Nihai sınır durum analizi

Belirli tasarım yönetmeliklerinin gerektirdiği farklı doğrulamalar, model tarafından sağlanan doğrudan sonuçlara dayanılarak değerlendirilir. ULS doğrulamaları beton dayanımı, donatı dayanımı ve ankraj (aderans kayma gerilmeleri) için gerçekleştirilir.

Yapısal bir elemanın verimli bir tasarıma sahip olmasını sağlamak için aşağıdaki adımları dikkate alan ön bir analiz yapılması şiddetle tavsiye edilir:

• En kritik yük kombinasyonlarından bir seçim yapın.
• Yalnızca Nihai Sınır Durum (ULS) yük kombinasyonlarını hesaplayın.
• Kaba bir mesh kullanın (Kurulum'daki varsayılan mesh boyutu çarpanını artırarak (Şek. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Bu tür bir model çok hızlı hesaplanacak ve tasarımcıların yapısal elemanın detaylandırmasını verimli biçimde incelemesine ve en kritik yük kombinasyonları için tüm doğrulama gereksinimleri karşılanana kadar analizi yeniden çalıştırmasına olanak tanıyacaktır. Bu ön analizin tüm doğrulama gereksinimleri karşılandıktan sonra, tam nihai yük kombinasyonlarının dahil edilmesi ve ince mesh boyutunun (program tarafından önerilen mesh boyutu) kullanılması önerilir. Kullanıcı, 0,5 ile 5 arasında değerler alabilen çarpan aracılığıyla mesh boyutunu değiştirebilir (Şek. 19).

Temel sonuçlar ve doğrulamalar (gerilme, gerinim ve kullanım oranı (yani hesaplanan değer/yönetmelikteki sınır değer) ile betonarme elemanlar söz konusu olduğunda asal gerilmelerin yönü), basıncın genellikle kırmızı, çekmenin ise mavi ile gösterildiği farklı grafikler aracılığıyla görüntülenir. Tüm yapı için genel minimum ve maksimum değerlerin yanı sıra kullanıcı tanımlı her parça için minimum ve maksimum değerler de vurgulanabilir. Programın ayrı bir sekmesinde, donatı çubuklarının çekme rijitliğini hesaplamak için kullanılan tensör değerleri, yapının deformasyonları ve donatı oranları (efektif ve geometrik) gibi gelişmiş sonuçlar gösterilebilir. Ayrıca seçili kombinasyonlar veya yük durumları için yükler ve reaksiyonlar sunulabilir.

Kullanılabilirlik sınır durum analizi

SLS değerlendirmeleri gerilme sınırlaması, çatlak genişliği ve sehim sınırları için gerçekleştirilir. Gerilmeler, betonarme ve donatı elemanlarında ULS için belirtilene benzer şekilde ilgili yönetmeliğe göre kontrol edilir.

Kullanılabilirlik analizi, nihai sınır durum analizi için kullanılan bünye modellerinin belirli basitleştirmelerini içerir. Tam aderans varsayılır; yani ankraj uzunluğu kullanılabilirlik durumunda doğrulanmaz. Ayrıca, basınçtaki betonun gerilme-gerinim eğrisinin plastik dalı göz ardı edilirken elastik dal doğrusal ve sınırsızdır. Bu basitleştirmeler sayısal kararlılığı ve hesap hızını artırır; kullanılabilirlik durumundaki sonuç malzeme gerilme sınırları akma noktalarının açıkça altında kaldığı sürece (standartların gerektirdiği şekilde) çözümün genelliğini azaltmaz. Bu nedenle, kullanılabilirlik için kullanılan basitleştirilmiş modeller yalnızca tüm doğrulama gereksinimleri karşılandığında geçerlidir.

Çatlak genişliği hesabı ve Gerilme sertleşmesi

Çatlak genişliği hesabı

Çatlak genişliklerini hesaplamanın iki yolu vardır: kararlı ve kararsız çatlama. Yapının her bölümündeki geometrik donatı oranına göre hangi çatlak hesabı modelinin kullanılacağına karar verilir (kararlı çatlama için TCM ve kararsız çatlama için POM modeli).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

CSFM, çoğu doğrulama için doğrudan sonuç verirken (örn. eleman kapasitesi, sehimler…), çatlak genişliği sonuçları, Şekil 20'de açıklanan metodoloji izlenerek sonlu elemanlar analizinden elde edilen donatı gerinim sonuçlarından doğrudan hesaplanır. Kayma olmaksızın bir çatlak kinematiği (saf çatlak açılması) dikkate alınmaktadır (Şekil 20a); bu durum modelin temel varsayımlarıyla tutarlıdır. Gerilme ve gerinim asal yönleri, çatlakların eğimini tanımlar (θ_r = θ_s= θ_e). (Şekil 20b)'ye göre çatlak genişliği (w), donatı çubuğu yönüne (w_b) yansıtılabilir ve şu ifade elde edilir:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

burada θ_b çubuğun eğim açısıdır.

Programın θ_r ve θ_b < π/2 değerlerini gösterdiğine dikkat edilmelidir. Bu, önceki denklemin, donatı ve çatlağın Kartezyen koordinat sisteminin farklı çeyreklerinden geçtiği durumlar için geçerli olduğu anlamına gelir; Şekil 20'de gösterildiği gibi donatı I. ve III. çeyreklerden, çatlak ise II. ve IV. çeyreklerden geçmektedir. Donatı ve çatlağın aynı çeyreklerden geçtiği durumlarda denklem aşağıdaki şekilde değiştirilmelidir:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

w_b bileşeni, donatı gerinimlerinin entegrasyonu yoluyla gerilme sertleşmesi modelleri esas alınarak tutarlı biçimde hesaplanır. Tamamen gelişmiş çatlak düzenine sahip bölgelerde, donatı çubukları boyunca hesaplanan ortalama gerinimler (e_m), (Şekil 20c)'de gösterildiği gibi doğrudan çatlak aralığı (s_r) boyunca entegre edilir. Çatlak yönlerini hesaplamaya yönelik bu yaklaşım, çatlakların gerçek konumuna karşılık gelmese de, donatı çubuğu konumunda yönetmeliklerin öngördüğü çatlak genişliği değerleriyle karşılaştırılabilecek çatlak genişliği sonuçlarına yol açan temsili değerler sağlamaktadır.

Hesaplanan yapının içbükey köşelerinde özel durumlar gözlemlenmektedir. Bu durumda köşe, komşu ek çatlaklar gelişmeden önce kararsız biçimde davranan tek bir çatlağın konumunu önceden belirler. Bu ek çatlaklar genellikle kullanılabilirlik sınırı ötesinde gelişir (Mata-Falcón 2015); bu durum, söz konusu bölgedeki çatlak genişliklerinin kararsız çatlama varmış gibi hesaplanmasını haklı kılar (Şekil 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Gerilme sertleşmesi

Gerilme sertleşmesinin uygulanması, kararlı ve kararsız çatlak düzeni durumlarını birbirinden ayırt eder. Her iki durumda da beton, varsayılan olarak yükleme öncesinde tamamen çatlamış kabul edilir.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Kararlı çatlama

Tamamen gelişmiş çatlak düzenlerinde gerilme sertleşmesi, Gerilme Kirişi Modeli (TCM) (Marti ve diğ. 1998; Alvarez 1998) kullanılarak uygulanır – Şekil 22a – bu modelin basitliğine karşın mükemmel davranış tahminleri verdiği gösterilmiştir (Burns 2012). TCM, σ_s ≤ f_y için τ_b = τ_b0 =2 f_ctm ve σ_s > f_y için τ_b =τ_b1 = f_ctm olmak üzere kademeli, rijit-tam plastik bir aderans kayma gerilmesi-kayma ilişkisi varsayar. Her donatı çubuğu bir gerilme kirişi olarak ele alındığında – Şekil 22b ve Şekil 22a – herhangi bir maksimum çelik gerilmesi (veya gerinimi) değeri için aderans kayması, çelik ve beton gerilmelerinin dağılımı ve dolayısıyla iki çatlak arasındaki gerinim dağılımı belirlenebilir.

s_r = s_r0 için, iki çatlak arasındaki merkezde σ_c1 = f_ct olduğundan yeni bir çatlak oluşabilir ya da oluşmayabilir. Sonuç olarak çatlak aralığı iki katına kadar değişebilir; yani s_r = λs_r0, l = 0,5…1,0. λ için belirli bir değer varsayıldığında, kirişin ortalama gerinimini (ε_m) maksimum donatı gerilmelerinin (yani çatlaklardaki gerilmeler, σ_sr) bir fonksiyonu olarak ifade etmek mümkündür. CSFM'de varsayılan olarak dikkate alınan idealize bilineer gerilme-gerinim diyagramı için aşağıdaki kapalı form analitik ifadeler elde edilir (Marti ve diğ. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

burada:
E_sh           çelik pekleşme modülü E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            donatının elastisite modülü,

Ø            donatı çubuğu çapı,

s_r                çatlak aralığı,

σ_sr           çatlaklardaki donatı gerilmeleri,

σ_s            gerçek donatı gerilmeleri,

f_y                donatının akma dayanımı.

IDEA StatiCa Detail'in CSFM uygulaması, bilgisayar destekli gerilme alanı analizi gerçekleştirirken varsayılan olarak ortalama çatlak aralığını dikkate alır. Ortalama çatlak aralığı, maksimum çatlak aralığının 2/3'ü olarak kabul edilir (λ = 0,67); bu durum, eğilme ve çekme deneylerine dayalı önerileri izlemektedir (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Çatlak genişliği hesaplamalarının, muhafazakâr değerler elde etmek amacıyla maksimum çatlak aralığını (λ = 1,0) dikkate aldığı belirtilmelidir.

TCM'nin uygulanması donatı oranına bağlıdır; bu nedenle her donatı çubuğuna çatlaklar arasında çekmeye çalışan uygun beton alanının atanması kritik öneme sahiptir. Karşılık gelen etkin donatı oranını (ρ_eff = A_s/A_c,eff) herhangi bir konfigürasyon için, eğik donatı dahil (Şekil 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Kararsız çatlama

Geometrik donatı oranının ρ_cr'den düşük olduğu bölgelerdeki çatlaklar, yani donatının akma olmaksızın çatlama yükünü taşıyabildiği minimum donatı miktarının altındaki bölgeler, ya mekanik olmayan etkilerden (örn. rötre) ya da diğer donatılar tarafından kontrol edilen çatlakların ilerlemesinden kaynaklanır. Bu minimum donatı değeri aşağıdaki şekilde elde edilir:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

burada:

f_y              donatının akma dayanımı,

f_ct             betonun çekme dayanımı,

n              modüler oran, n = E_s / E_c .

Geleneksel beton ve donatı çeliği için ρ_cr yaklaşık olarak %0,6'ya karşılık gelir.

Donatı oranı ρ_cr'nin altında kalan etriyeler için çatlama kararsız olarak kabul edilir ve gerilme sertleşmesi, Şekil 22b'de açıklanan Sıyrılma Modeli (POM) aracılığıyla uygulanır. Bu model, ayrı çatlaklar arasındaki mekanik etkileşimi göz ardı ederek, betonun çekme deformasyonunu ihmal ederek ve TCM tarafından kullanılan aynı kademeli, rijit-tam plastik aderans kayma gerilmesi-kayma ilişkisini varsayarak tek bir çatlağın davranışını analiz eder. Bu sayede çatlak çevresindeki donatı gerinim dağılımı (ε_s), herhangi bir maksimum çelik gerilmesi (σ_sr) için doğrudan denge koşulundan elde edilebilir. Tamamen gelişmemiş çatlak düzeninde çatlak aralığı bilinmediğinden, ortalama gerinim (ε_m), donatı çubuğunun çatlakta çekme dayanımına (f_t) ulaştığı andaki sıfır kayma noktaları arasındaki mesafe üzerinden her yük düzeyi için hesaplanır (Şekil 22b'de l_ε,avg), ve aşağıdaki bağıntılar elde edilir:

Önerilen modeller, analizde nihai olarak dikkate alınan yapışık donatının davranışının hesaplanmasına olanak tanır. En yaygın Avrupa donatı çeliği (B500B, f_t / f_y = 1,08 ve ε_u = %5) için bu davranış (gerilme sertleşmesi dahil) Şekil 22c-d'de gösterilmektedir.

Eurocode'a göre yapısal eleman kontrolleri

CSFM kullanılarak yapının değerlendirmesi iki farklı analiz ile gerçekleştirilir: biri kullanılabilirlik, diğeri ise nihai sınır durum yük kombinasyonları için. Kullanılabilirlik analizi, elemanın nihai davranışının tatmin edici olduğunu ve kullanılabilirlik yük seviyelerinde malzemenin akma koşullarına ulaşılmayacağını varsayar. Bu yaklaşım, sayısal kararlılığı ve hesaplama hızını artırmak amacıyla kullanılabilirlik analizi için basitleştirilmiş bünye modellerinin (betonun doğrusal dallı gerilme-gerinim diyagramı ile) kullanılmasına olanak tanır.

References

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.