1.1 Algemene inleiding voor het constructief ontwerp van betondetails

Het ontwerp en de beoordeling van betonelementen worden normaal gesproken uitgevoerd op het niveau van de doorsnede (1D-element) of het punt (2D-element). Deze procedure is beschreven in alle normen voor constructief ontwerp, bijv. in (EN 1992-1-1 of ACI 318-19), en wordt dagelijks toegepast in de constructieve praktijk. Het is echter niet altijd bekend of gerespecteerd dat de procedure alleen acceptabel is in gebieden waar de Bernoulli-Navier hypothese van vlakke rekverdelingen van toepassing is (aangeduid als B-gebieden). De plaatsen waar deze hypothese niet van toepassing is, worden discontinuïteits- of verstoorde gebieden (D-gebieden) genoemd. Voorbeelden van B- en D-gebieden van 1D-elementen zijn weergegeven in (Fig. 1). Dit zijn bijvoorbeeld opleggingen, delen waar geconcentreerde belastingen worden aangebracht, locaties waar een abrupte verandering in de doorsnede optreedt, openingen, enz. Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we ook veel andere D-gebieden tegen, zoals wanden, brugdiafragma's, consoles, enz. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

In het verleden werden semi-empirische ontwerpregels gebruikt voor het dimensioneren van discontinuïteitsgebieden. Gelukkig zijn deze regels de afgelopen decennia grotendeels vervangen door staafwerkmodellen (Schlaich et al., 1987) en spanningsvelden (Marti 1985), die zijn opgenomen in de huidige ontwerpcodes en tegenwoordig veelvuldig door ontwerpers worden gebruikt. Deze modellen zijn mechanisch consistente en krachtige hulpmiddelen. Merk op dat spanningsvelden over het algemeen continu of discontinu kunnen zijn en dat staafwerkmodellen een speciaal geval zijn van discontinue spanningsvelden.

Ondanks de evolutie van rekentools in de afgelopen decennia worden Staafwerk-modellen in wezen nog steeds gebruikt als handberekeningen. Hun toepassing voor praktijkconstructies is omslachtig en tijdrovend, omdat iteraties vereist zijn en meerdere belastinggevallen in beschouwing moeten worden genomen. Bovendien is deze methode niet geschikt voor het verifiëren van bruikbaarheidscriteria (vervormingen, scheurbreedten, enz.).

De interesse van constructeurs in een betrouwbaar en snel hulpmiddel voor het ontwerpen van D-gebieden leidde tot de beslissing om de nieuwe Compatible Stress Field Method te ontwikkelen, een methode voor computerondersteund spanningsveldontwerp die het automatisch ontwerpen en beoordelen van constructief betonnen staven onder vlakke belasting mogelijk maakt.

De Compatible Stress Field Method (CSFM) is een continue op EEM gebaseerde spanningsveldanalysemethode waarbij klassieke spanningsveldoplossingen worden aangevuld met kinematische beschouwingen, d.w.z. de rekstoestand wordt door de gehele constructie geëvalueerd. Daardoor kan de effectieve druksterkte van beton automatisch worden berekend op basis van de dwarsrekstoestand, op een vergelijkbare manier als bij drukveldsanalyses die rekening houden met compression softening (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) en de EPSF-methode (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Bovendien houdt de CSFM rekening met tension stiffening, waardoor realistische stijfheden aan de elementen worden toegekend, en dekt alle voorschriften uit de ontwerpcodes (inclusief bruikbaarheids- en vervormingscapaciteitsaspecten) die door eerdere benaderingen niet consistent werden behandeld. De CSFM maakt gebruik van gangbare eenassige spanning-rek-wetten die door ontwerpcodes worden voorgeschreven voor beton en wapening. Deze zijn bekend in de ontwerpfase, waardoor de partiële veiligheidsfactormethode kan worden toegepast. Ontwerpers hoeven daarom geen aanvullende, vaak willekeurige materiaaleigenschappen op te geven zoals doorgaans vereist bij niet-lineaire EEM-analyses, waardoor de methode perfect geschikt is voor de ingenieurspraktijk.

Om het gebruik van computerondersteunde spanningsvelden door constructeurs te bevorderen, dienen deze methoden te worden geïmplementeerd in gebruiksvriendelijke softwareomgevingen. Daartoe is de CSFM geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail; een nieuwe gebruiksvriendelijke commerciële software die gezamenlijk is ontwikkeld door ETH Zürich en het softwarebedrijf IDEA StatiCa in het kader van het DR-Design Eurostars-10571 project.

1.3 Ontwerptools voor wapening

Workflow en doelstellingen

Het doel van de wapeningstoolsontwerp in de CSFM is om ontwerpers te helpen de locatie en de benodigde hoeveelheid wapeningsstaven efficiënt te bepalen. De volgende tools zijn beschikbaar om de gebruiker in dit proces te helpen/begeleiden: lineaire berekening en topologie-optimalisatie.

Wapeningstoolsontwerp maakt gebruik van vereenvoudigde constitutieve modellen in vergelijking met de modellen die worden gebruikt voor de definitieve verificatie van de constructie. Daarom moet de definitie van de wapening in deze stap worden beschouwd als een voorontwerp dat tijdens de definitieve verificatiestap bevestigd/verfijnd dient te worden. Het gebruik van de verschillende wapeningstoolsontwerp wordt geïllustreerd aan de hand van het model in Fig. 3, dat bestaat uit één uiteinde van een enkelvoudig opgelegde ligger met variabele hoogte, belast door een gelijkmatig verdeelde belasting.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Lineaire analyse

De lineaire analyse maakt gebruik van lineair elastische materiaaleigenschappen en verwaarloost de wapening in het betongebied. Het is daardoor een zeer snelle berekening die een eerste inzicht geeft in de locaties van trek- en drukgebieden. Een voorbeeld van een dergelijke berekening is weergegeven in Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Topologie-optimalisatie

Topologie-optimalisatie is een methode die tot doel heeft de optimale verdeling van materiaal in een gegeven volume te vinden voor een bepaalde belastingsconfiguratie. De topologie-optimalisatie die is geïmplementeerd in Idea StatiCa Detail maakt gebruik van een lineair eindige-elementenmodel. Elk eindig element kan een relatieve dichtheid hebben van 0 tot 100%, wat de relatieve hoeveelheid gebruikt materiaal vertegenwoordigt. Deze elementdichtheden zijn de optimalisatieparameters in het optimalisatieprobleem. De resulterende materiaaldistributie wordt als optimaal beschouwd voor de gegeven belastingscombinatie als deze de totale vervormingsenergie van het systeem minimaliseert. Per definitie is de optimale verdeling ook de geometrie met de grootst mogelijke stijfheid voor de gegeven belastingen.

Het iteratieve optimalisatieproces begint met een homogene dichtheidsverdeling. De berekening wordt uitgevoerd voor meerdere totale volumefracties (20%, 40%, 60% en 80%), waardoor de gebruiker het meest praktische resultaat kan selecteren. De resulterende vorm bestaat uit vakwerken met drukdiagonalen en trekstaven en vertegenwoordigt de optimale vorm voor de gegeven belastingscombinaties (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Inleiding tot de implementatie van de Eindige Elementen Methode

De CSFM beschouwt continue spanningsvelden in het beton (2D eindige elementen), aangevuld met discrete "staaf"-elementen die de wapening vertegenwoordigen (1D eindige elementen). De wapening is dus niet diffuus ingebed in de 2D eindige elementen van het beton, maar expliciet gemodelleerd en hieraan gekoppeld. In het rekenmodel wordt een vlakke spanningstoestand beschouwd.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Zowel volledige wanden als liggers, alsook details (delen) van liggers (geïsoleerd discontinuïteitsgebied, ook wel afgesneden uiteinde genoemd), kunnen worden gemodelleerd. Bij wanden en volledige liggers moeten de opleggingen zodanig worden gedefinieerd dat een (extern) isostatische (statisch bepaalde) of hyperstatische (statisch onbepaalde constructie) ontstaat. De krachtafdracht bij de afgesneden uiteinden van liggers wordt geïntroduceerd door middel van een speciale Saint-Venant overgangszone, die zorgt voor een realistische spanningsverdeling in het geanalyseerde detailgebied.

3.1 Grenstoestanden en scheurwijdteberekening

Beoordeling van de constructie met behulp van de CSFM wordt uitgevoerd door twee verschillende analyses: één voor bruikbaarheid en één voor belastingcombinaties in de uiterste grenstoestand. De bruikbaarheidsanalyse gaat ervan uit dat het uiterste gedrag van het element bevredigend is en dat de vloeigrensvoorwaarden van het materiaal niet worden bereikt bij bruikbaarheidsbelastingsniveaus. Deze aanpak maakt het gebruik van vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineaire tak van het spanning-rek diagram van beton) voor bruikbaarheidsanalyse mogelijk om de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid te verbeteren. Daarom wordt aanbevolen de hieronder gepresenteerde werkwijze te gebruiken, waarbij de analyse van de uiterste grenstoestand als eerste stap wordt uitgevoerd.

Analyse van de uiterste grenstoestand

De verschillende verificaties die vereist zijn door specifieke ontwerpcodes worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechting schuifspanningen).

Om ervoor te zorgen dat een constructief element een efficiënt ontwerp heeft, wordt sterk aanbevolen een voorlopige analyse uit te voeren waarbij rekening wordt gehouden met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritische belastingcombinaties.
• Bereken alleen belastingcombinaties in de Uiterste Grenstoestand (UGT).
• Gebruik een grof mesh (door de vermenigvuldiger van de standaard mesh-grootte in Setup te vergroten (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Een dergelijk model berekent zeer snel, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle verificatievereisten is voldaan voor de meest kritische belastingcombinaties. Zodra aan alle verificatievereisten van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt gesuggereerd de volledige uiterste belastingcombinaties op te nemen en een fijne mesh-grootte te gebruiken (de mesh-grootte aanbevolen door het programma). De gebruiker kan de mesh-grootte wijzigen via de vermenigvuldiger, die waarden kan bereiken van 0,5 tot 5 (Fig. 19).

De basisresultaten en verificaties (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde uit de norm), evenals de richting van de hoofdspanningen in het geval van betonelementen) worden weergegeven door middel van verschillende plots waarbij druk over het algemeen in rood en trek in blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningspercentages (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven worden weergegeven. Bovendien kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastinggevallen worden gepresenteerd.

Analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbegrenzing, scheurwijdte en doorbuigingsgrenzen. Spanningen worden gecontroleerd in beton- en wapeningselementen overeenkomstig de toepasselijke norm op een vergelijkbare wijze als gespecificeerd voor de UGT.

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. Een perfecte aanhechting wordt verondersteld, d.w.z. de verankeringslengte wordt niet geverifieerd bij bruikbaarheid. Bovendien wordt de plastische tak van de spanning-rek curve van beton in druk buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid, en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet zolang de resulterende materiaalspanningsgrenzen bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeigrens liggen (zoals vereist door normen). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten is voldaan.

Scheurwijdteberekening en tension stiffening

Scheurwijdteberekening

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen: gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Op basis van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor niet-gestabiliseerd scheurvorming model).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Terwijl de CSFM voor de meeste verificaties een direct resultaat geeft (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen…), worden scheurwijdteresultaten berekend uit de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EE-analyse worden geleverd, volgens de methodologie beschreven in Fig. 20. Er wordt uitgegaan van een scheurkinematica zonder glijding (zuivere scheuropening) (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de helling van de scheuren (θ_r = θ_s= θ_e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaf (w_b), wat leidt tot:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

waarbij θ_b de stafinclinate is.

Let op: het programma geeft waarden weer van θ_r en θ_b < π/2. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking geldt voor gevallen waarbij de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het Cartesisch coördinatenstelsel lopen, zoals weergegeven in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. kwadrant. Voor gevallen waarbij de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

De component w_b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor die gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e_m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s_r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert zij toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaf.

Bijzondere situaties doen zich voor bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek de positie van een enkele scheur die zich op niet-gestabiliseerde wijze gedraagt voordat aangrenzende scheuren zich ontwikkelen. Deze aanvullende scheuren ontwikkelen zich over het algemeen na het bruikbaarheidsgebied (Mata-Falcón 2015), wat het rechtvaardigt om de scheurwijdten in een dergelijk gebied te berekenen alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard als volledig gescheurd beschouwd vóór belasting.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – waarvan is aangetoond dat het uitstekende responsvoorspellingen oplevert ondanks zijn eenvoud (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapt, star-perfect plastisch aanhechting-schuifspanning-glijdingsverband met τ_b = τ_b0 =2 f_ctm voor σ_s ≤ f_y en τ_b =τ_b1 = f_ctm voor σ_s > f_y. Door elke wapeningsstaf als een trekkoord te beschouwen ­– Fig. 22b en Fig. 22a – kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, staal- en betonspanningen en daarmee de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) ter plaatse van de scheuren.

Voor s_r = s_r0 kan al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ_c1 = f_ct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s_r = λs_r0, met l = 0,5…1,0. Bij een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van het koord (ε_m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. spanningen ter plaatse van de scheuren, σ_sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rek diagram voor de wapeningsstaven dat standaard in de CSFM wordt gehanteerd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

waarbij:
E_sh           de staalverhardingsmodulus E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø            diameter van de wapeningsstaf,

s_r                scheurafstand,

σ_sr           wapeningsspanningen ter plaatse van de scheuren,

σ_s            actuele wapeningsspanningen,

f_y                vloeigrens van de wapening.

De Idea StatiCa Detail implementatie van de CSFM houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat aansluit bij aanbevelingen op basis van buigings- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Opgemerkt dient te worden dat bij de berekening van scheurwijdten een maximale scheurafstand (λ = 1,0) wordt gehanteerd om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikte betonoppervlakte die tussen de scheuren op trek werkt aan elke wapeningsstaf cruciaal. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ_eff = A_s/A_c,eff) voor elke configuratie, inclusief schuine wapening (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ_cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening in staat is de scheurlast op te nemen zonder te vloeien, worden veroorzaakt door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortgang van scheuren die worden beheerst door andere wapening. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

waarbij:

f_y              vloeigrens van de wapening,

f_ct             treksterkte van het beton,

n              modulaire verhouding, n = E_s / E_c .

Voor gangbaar beton en wapeningsstaal bedraagt ρ_cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ_cr wordt scheurvorming als niet-gestabiliseerd beschouwd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM) beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormingscapaciteit van het beton op trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische aanhechtingsschuifspanning-glijdingsrelatie wordt aangenomen als gebruikt door het TCM. Dit maakt het mogelijk om de wapeningsrekverdeling (ε_s) in de nabijheid van de scheur te bepalen voor elke maximale staalspanning ter plaatse van de scheur (σ_sr) rechtstreeks uit evenwicht. Gezien het feit dat de scheurafstand onbekend is bij een niet-volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε_m) berekend voor elk belastingsniveau over de afstand tussen punten met nulglijding wanneer de wapeningsstaf zijn treksterkte (f_t) bereikt ter plaatse van de scheur (l_ε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende betrekkingen:

De voorgestelde modellen maken de berekening mogelijk van het gedrag van verankerde wapening, dat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest gangbare Europese wapeningsstaal (B500B, met f_t / f_y = 1,08 en ε_u = 5%) is weergegeven in Fig. 22c-d.

Constructieve elementcontroles volgens Eurocode

Beoordeling van de constructie met behulp van de CSFM wordt uitgevoerd door twee verschillende analyses: één voor de bruikbaarheidsgrenstoestand en één voor belastingcombinaties in de uiterste grenstoestand. De bruikbaarheidsanalyse gaat ervan uit dat het uiterste gedrag van het element bevredigend is en dat de vloeigrens van het materiaal niet wordt bereikt bij belastingsniveaus in de BGT. Deze aanpak maakt het gebruik van vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineair deel van het spanning-rek diagram van beton) voor de bruikbaarheidsanalyse mogelijk, om de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid te verbeteren.

References

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.