1.1 Introducción general al diseño estructural de detalles de hormigón

El diseño y la evaluación de elementos de hormigón se realizan normalmente a nivel seccional (elemento 1D) o puntual (elemento 2D). Este procedimiento está descrito en todas las normativas de diseño estructural, por ejemplo, en (EN 1992-1-1 o ACI 318-19), y se utiliza en la práctica habitual de la ingeniería estructural. Sin embargo, no siempre se conoce o se respeta que el procedimiento solo es aceptable en zonas donde se aplica la hipótesis de Bernoulli-Navier de distribución plana de deformaciones (denominadas regiones B). Los lugares donde esta hipótesis no se aplica se denominan regiones de discontinuidad o perturbadas (regiones D). En la (Fig. 1) se muestran ejemplos de regiones B y D en elementos 1D. Estas son, por ejemplo, zonas de apoyo, partes donde se aplican cargas concentradas, ubicaciones donde se produce un cambio brusco en la sección transversal, aberturas, etc. Al diseñar estructuras de hormigón, encontramos muchas otras regiones D, como muros, diafragmas de puentes, ménsulas, etc. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

En el pasado, se utilizaban reglas de diseño semiempíricas para dimensionar las regiones de discontinuidad. Afortunadamente, estas reglas han sido ampliamente superadas en las últimas décadas por los modelos de biela-y-tirante (Schlaich et al., 1987) y los campos de tensiones (Marti 1985), que están recogidos en los códigos de diseño actuales y son utilizados frecuentemente por los proyectistas hoy en día. Estos modelos son herramientas mecánicamente coherentes y potentes. Cabe señalar que los campos de tensiones pueden ser en general continuos o discontinuos, y que los modelos de biela-y-tirante son un caso especial de campos de tensiones discontinuos.

A pesar de la evolución de las herramientas de cálculo en las últimas décadas, los modelos Biela-y-tirante se siguen utilizando esencialmente como cálculos manuales. Su aplicación en estructuras reales es tediosa y consume mucho tiempo, ya que se requieren iteraciones y es necesario considerar varios casos de carga. Además, este método no es adecuado para verificar criterios de servicio (deformaciones, anchos de fisura, etc.).

El interés de los ingenieros estructurales en una herramienta fiable y rápida para diseñar regiones D llevó a la decisión de desarrollar el nuevo Método del Campo de Tensiones Compatible, un método para el diseño asistido por ordenador de campos de tensiones que permite el diseño y la evaluación automáticos de elementos de hormigón estructural sometidos a cargas en su plano.

El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es un método continuo de análisis de campos de tensiones basado en elementos finitos, en el que las soluciones clásicas de campos de tensiones se complementan con consideraciones cinemáticas, es decir, se evalúa el estado de deformación en toda la estructura. De este modo, la resistencia a compresión efectiva del hormigón puede calcularse automáticamente en función del estado de deformación transversal, de manera similar a los análisis de campo de compresión que tienen en cuenta el ablandamiento a compresión (Vecchio y Collins 1986; Kaufmann y Marti 1998) y el método EPSF (Fernández Ruiz y Muttoni 2007). Además, el CSFM considera la rigidización a tracción, proporcionando rigideces realistas a los elementos, y cubre todas las prescripciones de los códigos de diseño (incluidos los aspectos de servicio y capacidad de deformación) que los enfoques anteriores no abordaban de forma coherente. El CSFM utiliza las leyes constitutivas uniaxiales habituales proporcionadas por las normativas de diseño para el hormigón y la armadura. Estas son conocidas en la fase de diseño, lo que permite utilizar el método de los coeficientes parciales de seguridad. Por tanto, los proyectistas no tienen que proporcionar propiedades de material adicionales, a menudo arbitrarias, como las que normalmente se requieren para los análisis no lineales de elementos finitos, lo que hace que el método sea perfectamente adecuado para la práctica de la ingeniería.

Para fomentar el uso de campos de tensiones asistidos por ordenador por parte de los ingenieros estructurales, estos métodos deben implementarse en entornos de software fáciles de usar. Con este fin, el CSFM ha sido implementado en IDEA StatiCa Detail; un nuevo software comercial fácil de usar desarrollado conjuntamente por la ETH Zúrich y la empresa de software IDEA StatiCa en el marco del proyecto DR-Design Eurostars-10571.

1.3 Herramientas de diseño para armadura

Flujo de trabajo y objetivos

El objetivo de las herramientas de diseño de armadura en el CSFM es ayudar a los proyectistas a determinar la ubicación y la cantidad necesaria de barras de armadura de forma eficiente. Las siguientes herramientas están disponibles para ayudar/guiar al usuario en este proceso: cálculo lineal y optimización topológica.

Las herramientas de diseño de armadura consideran modelos constitutivos más simplificados que los modelos utilizados para la verificación final de la estructura. Por lo tanto, la definición de la armadura en este paso debe considerarse un prediseño que deberá confirmarse/refinarse durante el paso de verificación final. El uso de las diferentes herramientas de diseño de armadura se ilustrará con el modelo mostrado en la Fig. 3, que consiste en un extremo de una viga simplemente apoyada de canto variable sometida a una carga uniformemente distribuida.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Análisis lineal

El análisis lineal considera propiedades de material elástico lineal y desprecia la armadura en la región de hormigón. Es, por tanto, un cálculo muy rápido que proporciona una primera visión de las zonas de tracción y compresión. Un ejemplo de dicho cálculo se muestra en la Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Optimización topológica

La optimización topológica es un método que tiene como objetivo encontrar la distribución óptima de material en un volumen dado para una determinada configuración de cargas. La optimización topológica implementada en Idea StatiCa Detail utiliza un modelo de elementos finitos lineal. Cada elemento finito puede tener una densidad relativa del 0 al 100 %, que representa la cantidad relativa de material utilizado. Estas densidades de elemento son los parámetros de optimización del problema. La distribución de material resultante se considera óptima para el conjunto de cargas dado si minimiza la energía de deformación total del sistema. Por definición, la distribución óptima es también la geometría que tiene la mayor rigidez posible para las cargas dadas.

El proceso de optimización iterativo comienza con una distribución de densidad homogénea. El cálculo se realiza para múltiples fracciones de volumen total (20 %, 40 %, 60 % y 80 %), lo que permite al usuario seleccionar el resultado más práctico. La forma resultante consiste en celosías con bielas y tirantes y representa la forma óptima para los casos de carga dados (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Introducción a la implementación del Método de los Elementos Finitos

El CSFM considera campos de tensiones continuos en el hormigón (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "barra" que representan la armadura (elementos finitos 1D). Por lo tanto, la armadura no está difusamente embebida en los elementos finitos 2D de hormigón, sino que se modela explícitamente y se conecta a ellos. En el modelo de cálculo se considera un estado plano de tensiones.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Se pueden modelar tanto muros y vigas completas como detalles (partes) de vigas (región de discontinuidad aislada, también denominada extremo recortado). En el caso de muros y vigas completas, los apoyos deben definirse de manera que resulte una estructura (externamente) isostática (estáticamente determinada) o hiperestática (estáticamente indeterminada). La transferencia de carga en los extremos recortados de las vigas se introduce mediante una zona especial de transferencia de Saint-Venant, que garantiza una distribución realista de tensiones en la región del detalle analizado.

3.1 Estados límite y cálculo de la anchura de fisura

La evaluación de la estructura mediante el CSFM se realiza mediante dos análisis diferentes: uno para las combinaciones de carga en estado límite de servicio y otro para las de estado límite último. El análisis de servicio asume que el comportamiento último del elemento es satisfactorio y que las condiciones de plastificación del material no se alcanzarán en los niveles de carga de servicio. Este enfoque permite el uso de modelos constitutivos simplificados (con una rama lineal del diagrama tensión-deformación del hormigón) para el análisis de servicio, con el fin de mejorar la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo. Por ello, se recomienda utilizar el flujo de trabajo que se presenta a continuación, en el que el análisis en estado límite último se realiza como primer paso.

Análisis en estado límite último

Las diferentes verificaciones requeridas por los códigos de diseño específicos se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones en ELU se llevan a cabo para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

Para garantizar un diseño eficiente del elemento estructural, se recomienda encarecidamente realizar un análisis preliminar que tenga en cuenta los siguientes pasos:

• Seleccionar las combinaciones de carga más críticas.
• Calcular únicamente las combinaciones de carga en Estado Límite Último (ELU).
• Utilizar una malla gruesa (aumentando el multiplicador del tamaño de malla predeterminado en Configuración (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Este modelo calculará muy rápidamente, lo que permitirá a los proyectistas revisar el detallado del elemento estructural de forma eficiente y repetir el análisis hasta que se cumplan todos los requisitos de verificación para las combinaciones de carga más críticas. Una vez cumplidos todos los requisitos de verificación de este análisis preliminar, se sugiere incluir las combinaciones de carga última completas y utilizar un tamaño de malla fino (el tamaño de malla recomendado por el programa). El usuario puede cambiar el tamaño de malla mediante el multiplicador, que puede tomar valores de 0,5 a 5 (Fig. 19).

Los resultados y verificaciones básicos (tensión, deformación y utilización (es decir, el valor calculado/valor límite del código), así como la dirección de las tensiones principales en el caso de elementos de hormigón) se muestran mediante diferentes representaciones gráficas en las que la compresión se presenta generalmente en rojo y la tracción en azul. Se pueden resaltar los valores mínimos y máximos globales de toda la estructura, así como los valores mínimos y máximos de cada parte definida por el usuario. En una pestaña separada del programa se pueden mostrar resultados avanzados como valores tensoriales, deformaciones de la estructura y cuantías de armadura (efectiva y geométrica) utilizadas para calcular la rigidización a tracción de las barras de armadura. Además, se pueden presentar las cargas y reacciones para las combinaciones o casos de carga seleccionados.

Análisis en estado límite de servicio

Las verificaciones en ELS se realizan para la limitación de tensiones, la anchura de fisura y los límites de deformación. Las tensiones se comprueban en los elementos de hormigón y de armadura según el código aplicable, de manera similar a la especificada para el ELU.

El análisis de servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis en estado límite último. Se asume una adherencia perfecta, es decir, la longitud de anclaje no se verifica en servicio. Además, se desprecia la rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión, mientras que la rama elástica es lineal e ilimitada. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo, y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión del material resultantes en servicio estén claramente por debajo de sus puntos de plastificación (como exigen las normas). Por tanto, los modelos simplificados utilizados para el servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

Cálculo del ancho de fisura y rigidización a tracción

Cálculo del ancho de fisura

Hay dos formas de calcular los anchos de fisura: fisuración estabilizada y no estabilizada. Según la cuantía geométrica de armadura en cada parte de la estructura se decide qué tipo de modelo de cálculo de fisuras se utilizará (TCM para fisuración estabilizada y POM para el modelo de fisuración no estabilizada).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Mientras que el CSFM proporciona un resultado directo para la mayoría de las verificaciones (p. ej., capacidad del elemento, flechas…), los resultados del ancho de fisura se calculan a partir de los resultados de deformación de la armadura proporcionados directamente por el análisis de elementos finitos siguiendo la metodología descrita en la Fig. 20. Se considera una cinemática de fisura sin deslizamiento (apertura pura de fisura) (Fig. 20a), lo cual es coherente con las hipótesis principales del modelo. Las direcciones principales de tensiones y deformaciones definen la inclinación de las fisuras (θ_r = θ_s= θ_e). Según la (Fig. 20b), el ancho de fisura (w) puede proyectarse en la dirección de la barra de armadura (w_b), dando lugar a:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

donde θ_b es la inclinación de la barra.

Tenga en cuenta que el programa muestra valores de θ_r y θ_b < π/2. Esto significa que la ecuación anterior es válida para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan cuadrantes diferentes del sistema de coordenadas cartesiano, como se muestra en la Fig. 20, donde la armadura atraviesa los cuadrantes I y III y la fisura los cuadrantes II y IV. Para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan los mismos cuadrantes, la ecuación debe modificarse de la siguiente manera:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

La componente w_b se calcula de forma coherente a partir de los modelos de rigidización a tracción integrando las deformaciones de la armadura. Para las regiones con patrones de fisuración completamente desarrollados, las deformaciones medias calculadas (e_m) a lo largo de las barras de armadura se integran directamente a lo largo de la separación entre fisuras (s_r), como se indica en la (Fig. 20c). Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no corresponde a la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que conducen a resultados de ancho de fisura comparables con los valores de ancho de fisura requeridos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Se observan situaciones especiales en las esquinas cóncavas de la estructura calculada. En este caso, la esquina predefine la posición de una fisura única que se comporta de forma no estabilizada antes de que se desarrollen fisuras adyacentes adicionales. Estas fisuras adicionales generalmente se desarrollan después del rango de servicio (Mata-Falcón 2015), lo que justifica calcular los anchos de fisura en dicha región como si fueran no estabilizadas (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Rigidización a tracción

La implementación de la rigidización a tracción distingue entre casos de patrones de fisuración estabilizada y no estabilizada. En ambos casos, el hormigón se considera completamente fisurado antes de la carga por defecto.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fisuración estabilizada

En patrones de fisuración completamente desarrollados, la rigidización a tracción se introduce utilizando el Modelo de Cordón en Tracción (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que ha demostrado proporcionar excelentes predicciones de respuesta a pesar de su simplicidad (Burns 2012). El TCM asume una relación tensión tangencial de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y y τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada barra de armadura como un cordón en tracción ­– Fig. 22b y Fig. 22a – se puede determinar la distribución de la tensión tangencial de adherencia, las tensiones en el acero y en el hormigón y, por tanto, la distribución de deformaciones entre dos fisuras para cualquier valor dado de las tensiones máximas en el acero (o deformaciones) en las fisuras.

Para s_r = s_r0, puede o no formarse una nueva fisura porque en el centro entre dos fisuras σ_c1 = f_ct. En consecuencia, la separación entre fisuras puede variar en un factor de dos, es decir, s_r = λs_r0, con l = 0,5…1,0. Asumiendo un cierto valor para λ, la deformación media del cordón (ε_m) puede expresarse como función de las tensiones máximas en la armadura (es decir, tensiones en las fisuras, σ_sr). Para el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado de las barras de armadura desnudas considerado por defecto en el CSFM, se obtienen las siguientes expresiones analíticas en forma cerrada (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

donde:
E_sh           el módulo de endurecimiento del acero E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidad de la armadura,

Ø            diámetro de la barra de armadura,

s_r                separación entre fisuras,

σ_sr           tensiones de la armadura en las fisuras,

σ_s            tensiones reales de la armadura,

f_y                límite elástico de la armadura.

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail considera la separación media entre fisuras por defecto al realizar el análisis del campo de tensiones asistido por ordenador. La separación media entre fisuras se considera igual a 2/3 de la separación máxima entre fisuras (λ = 0,67), lo que sigue las recomendaciones realizadas sobre la base de ensayos de flexión y tracción (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cabe señalar que los cálculos del ancho de fisura consideran una separación máxima entre fisuras (λ = 1,0) con el fin de obtener valores conservadores.

La aplicación del TCM depende de la cuantía de armadura y, por tanto, la asignación de un área de hormigón apropiada que trabaje a tracción entre las fisuras a cada barra de armadura es crucial. Se ha desarrollado un procedimiento numérico automático para definir la cuantía de armadura efectiva correspondiente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para cualquier configuración, incluida la armadura inclinada (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fisuración no estabilizada

Las fisuras existentes en regiones con cuantías geométricas de armadura inferiores a ρ_cr, es decir, la cuantía mínima de armadura para la cual la armadura es capaz de soportar la carga de fisuración sin plastificar, son generadas por acciones no mecánicas (p. ej., retracción) o por la propagación de fisuras controladas por otras armaduras. El valor de esta armadura mínima se obtiene de la siguiente manera:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

donde:

f_y              límite elástico de la armadura,

f_ct             resistencia a tracción del hormigón,

n              relación modular, n = E_s / E_c .

Para hormigón y acero de armadura convencionales, ρ_cr es aproximadamente del 0,6%.

Para estribos con cuantías de armadura inferiores a ρ_cr, la fisuración se considera no estabilizada y la rigidización a tracción se implementa mediante el Modelo de Arrancamiento (POM) descrito en la Fig. 22b. Este modelo analiza el comportamiento de una fisura única sin considerar interacción mecánica entre fisuras separadas, despreciando la deformabilidad del hormigón a tracción y asumiendo la misma relación escalonada, rígida y perfectamente plástica de tensión tangencial de adherencia-deslizamiento utilizada por el TCM. Esto permite obtener la distribución de deformaciones de la armadura (ε_s) en las proximidades de la fisura para cualquier tensión máxima del acero en la fisura (σ_sr) directamente a partir del equilibrio. Dado que la separación entre fisuras es desconocida para un patrón de fisuración no completamente desarrollado, la deformación media (ε_m) se calcula para cualquier nivel de carga sobre la distancia entre puntos con deslizamiento nulo cuando la barra de armadura alcanza su resistencia a tracción (f_t) en la fisura (l_ε,avg en la Fig. 22b), dando lugar a las siguientes relaciones:

Los modelos propuestos permiten calcular el comportamiento de la armadura adherida, que finalmente se considera en el análisis. Este comportamiento (incluida la rigidización a tracción) para el acero de armadura europeo más común (B500B, con f_t / f_y = 1,08 y ε_u = 5%) se ilustra en la Fig. 22c-d.

Verificaciones de elementos estructurales según Eurocódigo

La evaluación de la estructura mediante el CSFM se realiza mediante dos análisis diferentes: uno para las combinaciones de carga en estado límite de servicio y otro para las de estado límite último. El análisis de servicio asume que el comportamiento último del elemento es satisfactorio y que las condiciones de plastificación del material no se alcanzarán en los niveles de carga de servicio. Este enfoque permite el uso de modelos constitutivos simplificados (con una rama lineal del diagrama tensión-deformación del hormigón) para el análisis de servicio, con el fin de mejorar la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo.

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