1.1 Ogólne wprowadzenie do projektowania konstrukcyjnego szczegółów betonowych

Projektowanie i ocena elementów betonowych są zazwyczaj przeprowadzane na poziomie przekrojowym (element 1D) lub punktowym (element 2D). Procedura ta jest opisana we wszystkich normach projektowania konstrukcji, np. w EN 1992-1-1 lub ACI 318-19, i jest stosowana w codziennej praktyce inżynierskiej. Nie zawsze jest jednak znane lub respektowane, że procedura ta jest dopuszczalna jedynie w obszarach, gdzie obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (zwanych obszarami B). Miejsca, w których hipoteza ta nie obowiązuje, nazywane są obszarami nieciągłości lub zaburzonymi (strefy nieciągłości – D-Regions). Przykłady obszarów B i D dla elementów 1D przedstawiono na (Rys. 1). Są to m.in. strefy podporowe, miejsca przyłożenia sił skupionych, lokalizacje nagłych zmian przekroju poprzecznego, otwory itp. Przy projektowaniu konstrukcji betonowych napotykamy wiele innych stref nieciągłości, takich jak ściany, tarcze mostowe, wsporniki itp. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

W przeszłości do wymiarowania stref nieciągłości stosowano półempiryczne reguły projektowania. Na szczęście reguły te zostały w dużej mierze zastąpione w ostatnich dziesięcioleciach przez modele Strut-and-tie (Schlaich i in., 1987) oraz pola naprężeń (Marti 1985), które są uwzględnione w aktualnych normach projektowania i powszechnie stosowane przez projektantów. Modele te są mechanicznie spójnymi i skutecznymi narzędziami. Należy zauważyć, że pola naprężeń mogą być ogólnie ciągłe lub nieciągłe, a modele Strut-and-tie stanowią szczególny przypadek nieciągłych pól naprężeń.

Pomimo rozwoju narzędzi obliczeniowych w ostatnich dziesięcioleciach, modele Strut-and-Tie są w zasadzie nadal stosowane jako obliczenia ręczne. Ich zastosowanie do rzeczywistych konstrukcji jest żmudne i czasochłonne, ponieważ wymagane są iteracje, a należy uwzględnić kilka przypadków obciążeń. Ponadto metoda ta nie jest odpowiednia do weryfikacji kryteriów użytkowalności (odkształcenia, szerokości rys itp.).

Zainteresowanie inżynierów konstruktorów niezawodnym i szybkim narzędziem do projektowania stref nieciągłości doprowadziło do decyzji o opracowaniu nowej Compatible Stress Field Method – metody wspomaganego komputerowo projektowania pól naprężeń, umożliwiającej automatyczne projektowanie i ocenę elementów z betonu konstrukcyjnego poddanych obciążeniom w płaszczyźnie.

Compatible Stress Field Method (CSFM) jest ciągłą metodą analizy pól naprężeń opartą na MES, w której klasyczne rozwiązania pól naprężeń są uzupełnione o rozważania kinematyczne, tj. stan odkształceń jest oceniany w całej konstrukcji. Dzięki temu efektywna wytrzymałość betonu na ściskanie może być automatycznie obliczana na podstawie stanu odkształceń poprzecznych w sposób podobny do analiz pól ściskania uwzględniających compression softening (Vecchio i Collins 1986; Kaufmann i Marti 1998) oraz metody EPSF (Fernández Ruiz i Muttoni 2007). Ponadto CSFM uwzględnia tension stiffening, zapewniając realistyczne sztywności elementów, i obejmuje wszystkie wymagania normowe (w tym aspekty użytkowalności i zdolności do odkształceń), które nie były konsekwentnie uwzględniane przez poprzednie podejścia. CSFM wykorzystuje powszechne jednoosiowe prawa konstytutywne dla betonu i zbrojenia, podane przez normy projektowania. Są one znane na etapie projektowania, co umożliwia stosowanie metody współczynników częściowych bezpieczeństwa. Projektanci nie muszą zatem podawać dodatkowych, często arbitralnych właściwości materiałowych, jakie są zazwyczaj wymagane w nieliniowych analizach MES, co sprawia, że metoda jest doskonale odpowiednia dla praktyki inżynierskiej.

Aby wspierać stosowanie wspomaganych komputerowo pól naprężeń przez inżynierów konstruktorów, metody te powinny być zaimplementowane w przyjaznych dla użytkownika środowiskach programowych. W tym celu CSFM zostało zaimplementowane w IDEA StatiCa Detail – nowym, przyjaznym dla użytkownika komercyjnym oprogramowaniu opracowanym wspólnie przez ETH Zurych i firmę programistyczną IDEA StatiCa w ramach projektu DR-Design Eurostars-10571.

1.3 Narzędzia do projektowania zbrojenia

Przebieg pracy i cele

Celem narzędzi do projektowania zbrojenia w metodzie CSFM jest pomoc projektantom w efektywnym określaniu lokalizacji i wymaganej ilości prętów zbrojeniowych. W tym procesie dostępne są następujące narzędzia wspomagające użytkownika: obliczenia liniowe oraz optymalizacja topologii.

Narzędzia do projektowania zbrojenia stosują uproszczone modele konstytutywne w porównaniu z modelami używanymi do ostatecznej weryfikacji konstrukcji. Dlatego definicję zbrojenia na tym etapie należy traktować jako wstępny projekt, który zostanie potwierdzony/doprecyzowany podczas etapu ostatecznej weryfikacji. Zastosowanie poszczególnych narzędzi do projektowania zbrojenia zostanie przedstawione na modelu pokazanym na Rys. 3, który obejmuje jeden koniec belki swobodnie podpartej o zmiennej wysokości, obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Analiza liniowa

Analiza liniowa uwzględnia liniowo sprężyste właściwości materiałowe i pomija zbrojenie w obszarze betonu. Jest to zatem bardzo szybkie obliczenie, które dostarcza wstępnych informacji o lokalizacji stref rozciąganych i ściskanych. Przykład takiego obliczenia przedstawiono na Rys. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Optymalizacja topologii

Optymalizacja topologii to metoda mająca na celu znalezienie optymalnego rozkładu materiału w danej objętości dla określonej konfiguracji obciążeń. Optymalizacja topologii zaimplementowana w Idea StatiCa Detail wykorzystuje liniowy model elementów skończonych. Każdy element skończony może mieć względną gęstość od 0 do 100%, reprezentującą względną ilość użytego materiału. Gęstości elementów stanowią parametry optymalizacji w zadaniu optymalizacyjnym. Wynikowy rozkład materiału uznaje się za optymalny dla danego zestawu obciążeń, jeśli minimalizuje całkowitą energię odkształcenia układu. Z definicji optymalny rozkład jest jednocześnie geometrią o największej możliwej sztywności dla danych obciążeń.

Iteracyjny proces optymalizacji rozpoczyna się od jednorodnego rozkładu gęstości. Obliczenia są wykonywane dla kilku wartości całkowitego udziału objętościowego (20%, 40%, 60% i 80%), co pozwala użytkownikowi wybrać najbardziej praktyczny wynik. Wynikowy kształt składa się z kratownic z krzyżulcami ściskanymi i cięgnami i reprezentuje optymalny kształt dla danych przypadków obciążeń (Rys. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Wprowadzenie do implementacji Metody Elementów Skończonych

CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (dwuwymiarowe elementy skończone), uzupełnione dyskretnymi elementami "prętowymi" reprezentującymi zbrojenie (jednowymiarowe elementy skończone). Zbrojenie nie jest zatem rozmycie wbudowane w dwuwymiarowe elementy skończone betonu, lecz modelowane jawnie i połączone z nimi. W modelu obliczeniowym przyjmuje się płaski stan naprężeń.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelować można zarówno całe ściany i belki, jak i fragmenty (części) belek (izolowane strefy nieciągłości, zwane również odciętymi końcami). W przypadku ścian i całych belek podpory muszą być zdefiniowane w taki sposób, aby uzyskać konstrukcję (zewnętrznie) izostatyczną (statycznie wyznaczalną) lub hiperstatyczną (statycznie niewyznaczalną). Przekazywanie obciążeń na odciętych końcach belek realizowane jest za pomocą specjalnej strefy przenoszenia Saint-Venanta, która zapewnia realistyczny rozkład naprężeń w analizowanym obszarze szczegółu.

3.1 Stany graniczne i obliczanie szerokości rys

Ocena konstrukcji przy użyciu CSFM jest przeprowadzana za pomocą dwóch różnych analiz: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności (SGU) i jednej dla stanu granicznego nośności (SGN). Analiza SGU zakłada, że ostateczne zachowanie elementu jest zadowalające i że warunki plastyczności materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń użytkowalności. Takie podejście umożliwia stosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie SGU w celu zwiększenia stabilności numerycznej i szybkości obliczeń. Dlatego zaleca się stosowanie przedstawionego poniżej toku postępowania, w którym analiza stanu granicznego nośności jest przeprowadzana jako pierwszy krok.

Analiza stanu granicznego nośności

Różne weryfikacje wymagane przez określone normy projektowania są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Sprawdzenia SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia ścinające przyczepności).

Aby zapewnić efektywny projekt elementu konstrukcyjnego, zdecydowanie zaleca się przeprowadzenie wstępnej analizy uwzględniającej następujące kroki:

• Wybór zestawu najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń.
• Obliczanie wyłącznie kombinacji obciążeń dla stanu granicznego nośności (SGN).
• Zastosowanie grubej siatki (poprzez zwiększenie mnożnika domyślnego rozmiaru siatki w Ustawieniach (Rys. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Taki model będzie obliczany bardzo szybko, umożliwiając projektantom efektywne sprawdzenie szczegółów elementu konstrukcyjnego i ponowne uruchamianie analizy do momentu spełnienia wszystkich wymagań weryfikacyjnych dla najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań weryfikacyjnych tej wstępnej analizy sugeruje się uwzględnienie pełnych kombinacji obciążeń ostatecznych oraz zastosowanie drobnej siatki (rozmiar siatki zalecany przez program). Użytkownik może zmieniać rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który może przyjmować wartości od 0,5 do 5 (Rys. 19).

Podstawowe wyniki i weryfikacje (naprężenie, odkształcenie i stopień wykorzystania (tj. wartość obliczona/wartość graniczna z normy), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych) są wyświetlane za pomocą różnych wykresów, gdzie ściskanie jest generalnie przedstawiane kolorem czerwonym, a rozciąganie kolorem niebieskim. Globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji mogą być wyróżnione, podobnie jak wartości minimalne i maksymalne dla każdej zdefiniowanej przez użytkownika części. W osobnej zakładce programu można wyświetlić zaawansowane wyniki, takie jak wartości tensorów, odkształcenia konstrukcji oraz stopnie zbrojenia (efektywne i geometryczne) stosowane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można przedstawić obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążeń.

Analiza stanu granicznego użytkowalności

Sprawdzenia SGU są przeprowadzane dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ograniczeń ugięć. Naprężenia są sprawdzane w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z obowiązującą normą w sposób podobny do określonego dla SGN.

Analiza SGU zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Przyjmuje się doskonałą przyczepność, tzn. długość zakotwienia nie jest weryfikowana w stanie użytkowalności. Ponadto plastyczna gałąź krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Uproszczenia te zwiększają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń i nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe granice naprężeń materiałowych w stanie użytkowalności są wyraźnie poniżej ich punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami norm). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy wszystkie wymagania weryfikacyjne są spełnione.

Obliczanie szerokości rys i tension stiffening

Obliczanie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys – zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego współczynnika zbrojenia w każdej części konstrukcji decyduje się, który model obliczeniowy zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane z wyników odkształceń zbrojenia bezpośrednio dostarczanych przez analizę MES zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Przyjmuje się kinematykę rysy bez poślizgu (czyste otwieranie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) może być rzutowana w kierunku pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że poprzednie równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki kartezjańskiego układu współrzędnych, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla obszarów z w pełni rozwiniętym schematem zarysowania, obliczone średnie odkształcenia (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Chociaż to podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normy w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w wklęsłych narożnikach obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik predefiniuje położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy rozwijają się zazwyczaj po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanego i nieustabilizowanego schematu zarysowania. W obu przypadkach beton jest domyślnie traktowany jako w pełni zarysowany przed obciążeniem.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Zarysowanie ustabilizowane

W w pełni rozwiniętych schematach zarysowania, tension stiffening jest wprowadzane przy użyciu modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który wykazano, że daje doskonałe prognozy odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu z τ_b = τ_b0 =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y i τ_b =τ_b1 = f_ctm dla σ_s > f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane ­– Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń stycznych przyczepności, naprężeń w stali i betonie, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami może być wyznaczony dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń w stali (lub odkształceń) w rysach.

Dla s_r = s_r0, nowa rysa może lub nie może się pojawić, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c1 = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się zmieniać o współczynnik dwa, tj. s_r = λs_r0, z l = 0,5…1,0. Przyjmując określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla idealizowanego bilinearnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych przyjętego domyślnie w CSFM, uzyskuje się następujące analityczne wyrażenia w postaci zamkniętej (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

gdzie:
E_sh           moduł wzmocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            moduł sprężystości zbrojenia,

Ø            średnica pręta zbrojeniowego,

s_r                rozstaw rys,

σ_sr           naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s            rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_y                granica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas komputerowej analizy pola naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co wynika z zaleceń opartych na badaniach zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że obliczenia szerokości rys uwzględniają maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości po stronie bezpiecznej.

Zastosowanie TCM zależy od współczynnika zbrojenia, dlatego kluczowe jest przypisanie odpowiedniego obszaru betonu pracującego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną do wyznaczania odpowiedniego efektywnego współczynnika zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym współczynniku zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie zarysowujące bez uplastycznienia, są generowane przez działania niemechaniczne (np. skurcz) lub postęp rys kontrolowanych przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia jest wyznaczana w następujący sposób:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

gdzie:

f_y              granica plastyczności zbrojenia,

f_ct             wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n              współczynnik modularny, n = E_s / E_c .

Dla typowego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi około 0,6%.

Dla strzemion o współczynniku zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie jest traktowane jako nieustabilizowane, a tension stiffening jest implementowane za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy bez uwzględnienia mechanicznej interakcji między oddzielnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu na rozciąganie i przyjmując tę samą stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu stosowaną przez TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z równowagi. Biorąc pod uwagę fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego schematu zarysowania, średnie odkształcenie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odległości między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zakotwionego zbrojenia, które jest ostatecznie uwzględniane w analizie. To zachowanie (w tym tension stiffening) dla najczęściej stosowanej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest zilustrowane na Rys. 22c-d.

Sprawdzenia normowe elementów konstrukcyjnych według Eurokodu

Ocena konstrukcji przy użyciu CSFM jest przeprowadzana za pomocą dwóch różnych analiz: jednej dla stanu użytkowalności i jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym nośności. Analiza SGU zakłada, że ostateczne zachowanie elementu jest zadowalające i że warunki uplastycznienia materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń SGU. Takie podejście umożliwia stosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie SGU, co zwiększa stabilność numeryczną i szybkość obliczeń.

References

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.