1.1 Introduction générale à la conception structurelle des détails en béton

La conception et l'évaluation des éléments en béton sont normalement effectuées au niveau de la section (élément 1D) ou au niveau ponctuel (élément 2D). Cette procédure est décrite dans toutes les normes de conception structurelle, par exemple dans (EN 1992-1-1 ou ACI 318-19), et elle est utilisée dans la pratique courante de l'ingénierie structurelle. Cependant, il n'est pas toujours connu ou respecté que la procédure n'est acceptable que dans les zones où l'hypothèse de Bernoulli-Navier de distribution plane des déformations s'applique (appelées régions B). Les endroits où cette hypothèse ne s'applique pas sont appelés régions de discontinuité ou régions perturbées (régions D). Des exemples de régions B et D pour des éléments 1D sont donnés en (Fig. 1). Il s'agit, par exemple, des zones d'appui, des parties où des charges concentrées sont appliquées, des emplacements où un changement brusque de la section transversale se produit, des ouvertures, etc. Lors de la conception de structures en béton, on rencontre de nombreuses autres régions D telles que les voiles, les diaphragmes de ponts, les corbeaux, etc. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

Dans le passé, des règles de conception semi-empiriques étaient utilisées pour le dimensionnement des régions de discontinuité. Heureusement, ces règles ont été largement remplacées au cours des dernières décennies par des modèles Bielle-et-tirant (Schlaich et al., 1987) et des champs de contraintes (Marti 1985), qui figurent dans les codes de conception actuels et sont fréquemment utilisés par les concepteurs aujourd'hui. Ces modèles sont des outils mécaniquement cohérents et puissants. Il convient de noter que les champs de contraintes peuvent généralement être continus ou discontinus, et que les modèles Bielle-et-tirant constituent un cas particulier des champs de contraintes discontinus.

Malgré l'évolution des outils de calcul au cours des dernières décennies, les modèles Bielle-et-Tirant sont encore essentiellement utilisés comme calculs manuels. Leur application pour des structures réelles est fastidieuse et chronophage, car des itérations sont nécessaires et plusieurs cas de charge doivent être pris en compte. De plus, cette méthode n'est pas adaptée à la vérification des critères de serviceabilité (déformations, largeurs de fissures, etc.).

L'intérêt des ingénieurs structure pour un outil fiable et rapide permettant de concevoir les régions D a conduit à la décision de développer la nouvelle Méthode du Champ de Contraintes Compatible, une méthode de conception assistée par ordinateur des champs de contraintes qui permet la conception et l'évaluation automatiques des éléments en béton structurel soumis à des chargements dans leur plan.

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) est une méthode d'analyse des champs de contraintes continue basée sur les éléments finis, dans laquelle les solutions classiques de champs de contraintes sont complétées par des considérations cinématiques, c'est-à-dire que l'état de déformation est évalué dans l'ensemble de la structure. Ainsi, la résistance effective à la compression du béton peut être calculée automatiquement en fonction de l'état de déformation transversale, de manière similaire aux analyses de champs de compression qui tiennent compte de l'adoucissement en compression (Vecchio et Collins 1986 ; Kaufmann et Marti 1998) et à la méthode EPSF (Fernández Ruiz et Muttoni 2007). De plus, le CSFM prend en compte le raidissement en traction, fournissant des rigidités réalistes aux éléments, et couvre toutes les prescriptions des codes de conception (y compris les aspects de serviceabilité et de capacité de déformation) qui n'étaient pas traités de manière cohérente par les approches précédentes. Le CSFM utilise des lois de comportement uniaxiales courantes fournies par les normes de conception pour le béton et le ferraillage. Celles-ci sont connues au stade de la conception, ce qui permet d'utiliser la méthode des coefficients partiels de sécurité. Ainsi, les concepteurs n'ont pas à fournir des propriétés matérielles supplémentaires, souvent arbitraires, telles que celles généralement requises pour les analyses EF non linéaires, ce qui rend la méthode parfaitement adaptée à la pratique de l'ingénierie.

Pour favoriser l'utilisation des champs de contraintes assistés par ordinateur par les ingénieurs structure, ces méthodes doivent être implémentées dans des environnements logiciels conviviaux. À cette fin, le CSFM a été implémenté dans IDEA StatiCa Detail ; un nouveau logiciel commercial convivial développé conjointement par l'ETH Zurich et la société de logiciels IDEA StatiCa dans le cadre du projet DR-Design Eurostars-10571.

1.3 Outils de conception du ferraillage

Flux de travail et objectifs

L'objectif des outils de conception du ferraillage dans le CSFM est d'aider les concepteurs à déterminer l'emplacement et la quantité requise de barres d'armature de manière efficace. Les outils suivants sont disponibles pour aider / guider l'utilisateur dans ce processus : calcul linéaire et optimisation topologique.

Les outils de conception du ferraillage utilisent des modèles de comportement plus simplifiés que ceux employés pour la vérification finale de la structure. Par conséquent, la définition du ferraillage à cette étape doit être considérée comme un pré-dimensionnement à confirmer/affiner lors de l'étape de vérification finale. L'utilisation des différents outils de conception du ferraillage sera illustrée sur le modèle présenté à la Fig. 3, qui représente une extrémité d'une poutre simplement appuyée à hauteur variable soumise à une charge uniformément répartie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Analyse linéaire

L'analyse linéaire considère des propriétés de matériaux élastiques linéaires et néglige le ferraillage dans la région en béton. Il s'agit donc d'un calcul très rapide qui fournit un premier aperçu des zones de traction et de compression. Un exemple d'un tel calcul est présenté à la Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Optimisation topologique

L'optimisation topologique est une méthode qui vise à trouver la distribution optimale de matière dans un volume donné pour une configuration de charge déterminée. L'optimisation topologique implémentée dans Idea StatiCa Detail utilise un modèle par éléments finis linéaire. Chaque élément fini peut avoir une densité relative de 0 à 100 %, représentant la quantité relative de matière utilisée. Ces densités d'éléments constituent les paramètres d'optimisation du problème. La distribution de matière résultante est considérée comme optimale pour l'ensemble de charges donné si elle minimise l'énergie de déformation totale du système. Par définition, la distribution optimale est également la géométrie présentant la rigidité maximale possible pour les charges données.

Le processus d'optimisation itératif commence par une distribution de densité homogène. Le calcul est effectué pour plusieurs fractions volumiques totales (20 %, 40 %, 60 % et 80 %), ce qui permet à l'utilisateur de sélectionner le résultat le plus pratique. La forme résultante est constituée de treillis avec des bielles et des tirants et représente la forme optimale pour les cas de charge donnés (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Introduction à l'implémentation par éléments finis

Le CSFM considère des champs de contraintes continus dans le béton (éléments finis 2D), complétés par des éléments « barre » discrets représentant le ferraillage (éléments finis 1D). Par conséquent, le ferraillage n'est pas diffusément intégré dans les éléments finis 2D en béton, mais modélisé explicitement et connecté à ceux-ci. Un état de contrainte plane est considéré dans le modèle de calcul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Les voiles et poutres entiers, ainsi que les détails (parties) de poutres (région de discontinuité isolée, également appelée extrémité tronquée), peuvent être modélisés. Dans le cas des voiles et des poutres entières, les appuis doivent être définis de manière à obtenir une structure (extérieurement) isostatique (statiquement déterminée) ou hyperstatique (statiquement indéterminée). Le transfert des charges aux extrémités tronquées des poutres est introduit au moyen d'une zone de transfert de Saint-Venant spéciale, qui assure une distribution réaliste des contraintes dans la région de détail analysée.

3.1 États limites et calcul de la largeur des fissures

L'évaluation de la structure à l'aide du CSFM est réalisée par deux analyses différentes : l'une pour les combinaisons de charges à l'état limite de service et l'autre pour les combinaisons à l'état limite ultime. L'analyse à l'état limite de service suppose que le comportement ultime de l'élément est satisfaisant et que les conditions de plastification du matériau ne seront pas atteintes aux niveaux de charge de service. Cette approche permet l'utilisation de modèles constitutifs simplifiés (avec une branche linéaire du diagramme contrainte-déformation du béton) pour l'analyse à l'état limite de service, afin d'améliorer la stabilité numérique et la vitesse de calcul. Il est donc recommandé d'utiliser le processus présenté ci-dessous, dans lequel l'analyse à l'état limite ultime est effectuée en premier.

Analyse à l'état limite ultime

Les différentes vérifications requises par les codes de calcul spécifiques sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Pour s'assurer qu'un élément structurel présente un dimensionnement efficace, il est fortement recommandé d'effectuer une analyse préliminaire tenant compte des étapes suivantes :

• Choisir une sélection des combinaisons de charges les plus critiques.
• Calculer uniquement les combinaisons de charges à l'État Limite Ultime (ELU).
• Utiliser un maillage grossier (en augmentant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut dans les Paramètres (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Un tel modèle se calculera très rapidement, permettant aux concepteurs de vérifier le ferraillage de l'élément structurel efficacement et de relancer l'analyse jusqu'à ce que toutes les exigences de vérification soient satisfaites pour les combinaisons de charges les plus critiques. Une fois toutes les exigences de vérification de cette analyse préliminaire satisfaites, il est suggéré d'inclure l'ensemble des combinaisons de charges ultimes et d'utiliser une taille de maillage fine (la taille de maillage recommandée par le programme). L'utilisateur peut modifier la taille du maillage par le multiplicateur, qui peut prendre des valeurs de 0,5 à 5 (Fig. 19).

Les résultats et vérifications de base (contrainte, déformation et taux de travail (c'est-à-dire la valeur calculée/valeur limite issue du code), ainsi que la direction des contraintes principales dans le cas des éléments en béton) sont affichés au moyen de différents tracés où la compression est généralement représentée en rouge et la traction en bleu. Les valeurs minimales et maximales globales pour l'ensemble de la structure peuvent être mises en évidence, ainsi que les valeurs minimales et maximales pour chaque partie définie par l'utilisateur. Dans un onglet séparé du programme, des résultats avancés tels que les valeurs tensorielles, les déformations de la structure et les taux de ferraillage (effectifs et géométriques) utilisés pour le calcul du raidissement en traction des barres de ferraillage peuvent être affichés. De plus, les charges et réactions pour les combinaisons ou cas de charge sélectionnés peuvent être présentés.

Analyse à l'état limite de service

Les vérifications à l'ELS sont effectuées pour la limitation des contraintes, la largeur des fissures et les limites de déflexion. Les contraintes sont vérifiées dans les éléments en béton et en ferraillage conformément au code applicable, de manière similaire à celle spécifiée pour l'ELU.

L'analyse à l'état limite de service contient certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse à l'état limite ultime. Une adhérence parfaite est supposée, c'est-à-dire que la longueur d'ancrage n'est pas vérifiée à l'état limite de service. De plus, la branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte des matériaux résultantes à l'état limite de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (comme requis par les normes). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état limite de service ne sont valides que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

Calcul de la largeur des fissures et raidissement en traction

Calcul de la largeur des fissures

Il existe deux méthodes de calcul des largeurs de fissures : la fissuration stabilisée et la fissuration non stabilisée. En fonction du taux de ferraillage géométrique dans chaque partie de la structure, le type de modèle de calcul des fissures est déterminé (TCM pour la fissuration stabilisée et POM pour le modèle de fissuration non stabilisée).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Alors que le CSFM fournit un résultat direct pour la plupart des vérifications (par exemple, la capacité de l'élément, les flèches…), les résultats de largeur de fissures sont calculés à partir des résultats de déformation du ferraillage directement fournis par l'analyse par éléments finis, selon la méthodologie décrite à la Fig. 20. Une cinématique de fissure sans glissement (ouverture pure de fissure) est considérée (Fig. 20a), ce qui est cohérent avec les hypothèses principales du modèle. Les directions principales des contraintes et des déformations définissent l'inclinaison des fissures (θ_r = θ_s= θ_e). D'après (Fig. 20b), la largeur de fissure (w) peut être projetée dans la direction de la barre de ferraillage (w_b), ce qui conduit à :

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

où θ_b est l'inclinaison de la barre.

Veuillez noter que le programme affiche des valeurs de θ_r et θ_b < π/2. Cela signifie que l'équation précédente s'applique aux cas où le ferraillage et la fissure traversent des quadrants différents du système de coordonnées cartésiennes, comme illustré à la Fig. 20, où le ferraillage traverse les quadrants I et III et la fissure les quadrants II et IV. Pour les cas où le ferraillage et la fissure traversent les mêmes quadrants, l'équation doit être modifiée comme suit :

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

La composante w_b est calculée de manière cohérente à partir des modèles de raidissement en traction en intégrant les déformations du ferraillage. Pour les zones présentant des schémas de fissuration pleinement développés, les déformations moyennes calculées (e_m) le long des barres de ferraillage sont directement intégrées sur l'espacement des fissures (s_r), comme indiqué à la (Fig. 20c). Bien que cette approche du calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats de largeur de fissures comparables aux valeurs de largeur de fissures requises par les normes à la position de la barre de ferraillage.

Des situations particulières sont observées aux angles rentrants de la structure calculée. Dans ce cas, l'angle prédéfinit la position d'une fissure unique qui se comporte de manière non stabilisée avant que des fissures adjacentes supplémentaires ne se développent. Ces fissures supplémentaires se développent généralement après le domaine de service (Mata-Falcón 2015), ce qui justifie le calcul des largeurs de fissures dans cette zone comme si elles étaient non stabilisées (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Raidissement en traction

La mise en œuvre du raidissement en traction distingue les cas de schémas de fissuration stabilisée et non stabilisée. Dans les deux cas, le béton est considéré par défaut comme entièrement fissuré avant chargement.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fissuration stabilisée

Pour les schémas de fissuration pleinement développés, le raidissement en traction est introduit à l'aide du Modèle de Tirant en Traction (TCM) (Marti et al. 1998 ; Alvarez 1998) – Fig. 22a – dont il a été démontré qu'il fournit d'excellentes prédictions de réponse malgré sa simplicité (Burns 2012). Le TCM suppose une relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement étagée, rigide-parfaitement plastique avec τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pour σ_s ≤ f_y et τ_b =τ_b1 = f_ctm pour σ_s > f_y. En traitant chaque barre de ferraillage comme un tirant en traction ­– Fig. 22b et Fig. 22a – la distribution des contraintes de cisaillement d'adhérence, des contraintes dans l'acier et dans le béton, et donc la distribution des déformations entre deux fissures peut être déterminée pour toute valeur donnée des contraintes maximales dans l'acier (ou des déformations) aux fissures.

Pour s_r = s_r0, une nouvelle fissure peut ou non se former car au centre entre deux fissures σ_c1 = f_ct. Par conséquent, l'espacement des fissures peut varier d'un facteur deux, c'est-à-dire s_r = λs_r0, avec l = 0,5…1,0. En supposant une certaine valeur de λ, la déformation moyenne du tirant (ε_m) peut être exprimée en fonction des contraintes maximales dans le ferraillage (c'est-à-dire les contraintes aux fissures, σ_sr). Pour le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres nues considéré par défaut dans le CSFM, les expressions analytiques fermées suivantes sont obtenues (Marti et al. 1998) :

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

où :
E_sh           le module d'écrouissage de l'acier E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            module d'élasticité du ferraillage,

Ø            diamètre de la barre de ferraillage,

s_r                espacement des fissures,

σ_sr           contraintes dans le ferraillage aux fissures,

σ_s            contraintes réelles dans le ferraillage,

f_y                limite d'élasticité du ferraillage.

La mise en œuvre du CSFM dans IDEA StatiCa Detail considère par défaut l'espacement moyen des fissures lors de l'analyse du champ de contraintes assistée par ordinateur. L'espacement moyen des fissures est considéré comme égal à 2/3 de l'espacement maximal des fissures (λ = 0,67), conformément aux recommandations formulées sur la base d'essais de flexion et de traction (Broms 1965 ; Beeby 1979 ; Meier 1983). Il convient de noter que les calculs de largeur de fissures considèrent un espacement maximal des fissures (λ = 1,0) afin d'obtenir des valeurs conservatives.

L'application du TCM dépend du taux de ferraillage, et donc l'attribution d'une aire de béton appropriée travaillant en traction entre les fissures à chaque barre de ferraillage est cruciale. Une procédure numérique automatique a été développée pour définir le taux de ferraillage effectif correspondant (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pour toute configuration, y compris le ferraillage incliné (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fissuration non stabilisée

Les fissures présentes dans les zones dont le taux de ferraillage géométrique est inférieur à ρ_cr, c'est-à-dire la quantité minimale de ferraillage pour laquelle le ferraillage est capable de reprendre la charge de fissuration sans plastification, sont générées soit par des actions non mécaniques (par exemple le retrait), soit par la propagation de fissures contrôlées par d'autres ferraillages. La valeur de ce ferraillage minimal est obtenue comme suit :

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

où :

f_y              limite d'élasticité du ferraillage,

f_ct             résistance à la traction du béton,

n              rapport d'équivalence, n = E_s / E_c .

Pour le béton et l'acier de ferraillage courants, ρ_cr est d'environ 0,6 %.

Pour les étriers dont le taux de ferraillage est inférieur à ρ_cr, la fissuration est considérée comme non stabilisée et le raidissement en traction est mis en œuvre au moyen du Modèle d'Arrachement (POM) décrit à la Fig. 22b. Ce modèle analyse le comportement d'une fissure unique en ne considérant aucune interaction mécanique entre les fissures séparées, en négligeant la déformabilité du béton en traction et en supposant la même relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement étagée, rigide-parfaitement plastique utilisée par le TCM. Cela permet d'obtenir la distribution des déformations du ferraillage (ε_s) au voisinage de la fissure pour toute contrainte maximale dans l'acier à la fissure (σ_sr) directement par équilibre. Étant donné que l'espacement des fissures est inconnu pour un schéma de fissuration non pleinement développé, la déformation moyenne (ε_m) est calculée pour tout niveau de charge sur la distance entre les points à glissement nul lorsque la barre de ferraillage atteint sa résistance à la traction (f_t) à la fissure (l_ε,avg à la Fig. 22b), conduisant aux relations suivantes :

Les modèles proposés permettent le calcul du comportement du ferraillage adhérent, qui est finalement pris en compte dans l'analyse. Ce comportement (incluant le raidissement en traction) pour l'acier de ferraillage européen le plus courant (B500B, avec f_t / f_y = 1,08 et ε_u = 5 %) est illustré aux Fig. 22c-d.

Vérifications des éléments structurels selon l'Eurocode

L'évaluation de la structure à l'aide du CSFM est réalisée par deux analyses distinctes : l'une pour les combinaisons de charges à l'état limite de service (ELS), et l'autre pour les combinaisons de charges à l'état limite ultime (ELU). L'analyse à l'ELS suppose que le comportement ultime de l'élément est satisfaisant et que les conditions de plastification du matériau ne seront pas atteintes aux niveaux de charge de service. Cette approche permet l'utilisation de modèles constitutifs simplifiés (avec une branche linéaire du diagramme contrainte-déformation du béton) pour l'analyse à l'ELS, afin d'améliorer la stabilité numérique et la vitesse de calcul.

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