General introduction for the structural design of concrete details
The design and assessment of concrete elements are normally performed at the sectional (1D-element) or point (2D-element) level. This procedure is described in all standards for structural design, e.g., in (EN 1992-1-1 or ACI 318-19), and it is used in everyday structural engineering practice. However, it is not always known or respected that the procedure is only acceptable in areas where the Bernoulli-Navier hypothesis of plane strain distribution applies (referred to as B-regions). The places where this hypothesis does not apply are called discontinuity or disturbed regions (D-Regions). Examples of B and D regions of 1D-elements are given in (Fig. 1). These are, e.g., bearing areas, parts where concentrated loads are applied, locations where an abrupt change in the cross-section occurs, openings, etc. When designing concrete structures, we meet a lot of other D-Regions such as walls, bridge diaphragms, corbels, etc.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]
In the past, semi-empirical design rules were used for dimensioning discontinuity regions. Fortunately, these rules have been largely superseded over the past decades by strut-and-tie models (Schlaich et al., 1987) and stress fields (Marti 1985), which are featured in current design codes and frequently used by designers today. These models are mechanically consistent and powerful tools. Note that stress fields can generally be continuous or discontinuous and that strut-and-tie models are a special case of discontinuous stress fields.
Despite the evolution of computational tools over the past decades, Strut-and-Tie models are essentially still used as hand calculations. Their application for real-world structures is tedious and time-consuming since iterations are required, and several load cases need to be considered. Furthermore, this method is not suitable for verifying serviceability criteria (deformations, crack widths, etc.).
The interest of structural engineers in a reliable and fast tool to design D-regions led to the decision to develop the new Compatible Stress Field Method, a method for computer-aided stress field design that allows the automatic design and assessment of structural concrete members subjected to in-plane loading.
The Compatible Stress Field Method (CSFM) is a continuous FE-based stress field analysis method in which classic stress field solutions are complemented with kinematic considerations, i.e., the state of strain is evaluated throughout the structure. Hence, the effective compressive strength of concrete can be automatically computed based on the state of transverse strain in a similar manner as in compression field analyses that account for compression softening (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) and the EPSF method (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Moreover, the CSFM considers tension stiffening, providing realistic stiffnesses to the elements, and covers all design code prescriptions (including serviceability and deformation capacity aspects) not consistently addressed by previous approaches. The CSFM uses common uniaxial constitutive laws provided by design standards for concrete and reinforcement. These are known at the design stage, which allows the partial safety factor method to be used. Hence, designers do not have to provide additional, often arbitrary material properties as are typically required for non-linear FE-analyses, making the method perfectly suitable for engineering practice.
To foster the use of computer-aided stress fields by structural engineers, these methods should be implemented in user-friendly software environments. To this end, the CSFM has been implemented in IDEA StatiCa Detail; a new user-friendly commercial software developed jointly by ETH Zurich and the software company IDEA StatiCa in the framework of the DR-Design Eurostars-10571 project.
Design tools for reinforcement
Workflow and goals
The goal of reinforcement design tools in the CSFM is to help designers determine the location and required amount of reinforcing bars efficiently. The following tools are available to help / guide the user in this process: linear calculation and topology optimization.
Reinforcement design tools consider more simplified constitutive models than the models used for the final verification of the structure. Therefore, the definition of the reinforcement in this step should be considered a pre-design to be confirmed/refined during the final verification step. The use of the different reinforcement design tools will be depicted in the model shown in Fig. 3, which consists of one end of a simply supported beam with variable depth subjected to a uniformly distributed load.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]
Linear analysis
The linear analysis considers linear elastic material properties and neglects reinforcement in the concrete region. It is, therefore, a very fast calculation that provides a first insight into the locations of tension and compression areas. An example of such a calculation is shown in Fig. 4.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]
Topology optimization
Topology optimization is a method that aims to find the optimal distribution of material in a given volume for a certain load configuration. The topology optimization implemented in Idea StatiCa Detail uses a linear finite element model. Each finite element may have a relative density from 0 to 100 %, representing the relative amount of material used. These element densities are the optimization parameters in the optimization problem. The resulting material distribution is considered optimal for the given set of loads if it minimizes the total strain energy of the system. By definition, the optimal distribution is also the geometry that has the largest possible stiffness for the given loads.
The iterative optimization process starts with a homogeneous density distribution. The calculation is performed for multiple total volume fractions (20%, 40%, 60%, and 80%), which allows the user to select the most practical result. The resulting shape consists of trusses with struts and ties and represents the optimum shape for the given load cases (Fig. 5).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\% effective volume}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]
Introdução à implementação de elementos finitos
O CSFM considera campos de tensão contínuos no betão (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "barras" que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não é difusamente incorporada nos elementos finitos 2D do betão, mas explicitamente modelada e ligada a eles. No modelo de cálculo é considerado um estado de tensão plano.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualização do modelo de cálculo de um elemento estrutural (viga aparada) no Idea StatiCa Detail.}}}\]
Podem ser modeladas paredes e vigas inteiras, bem como pormenores (partes) de vigas (região de descontinuidade isolada, também designada por extremidade aparada). No caso de paredes e vigas inteiras, os apoios devem ser definidos de forma a resultar numa estrutura (externamente) isostática (estaticamente determinada) ou hiperestática (estaticamente indeterminada). A transferência de carga nas extremidades cortadas das vigas é introduzida através de uma zona de transferência especial de Saint-Venant, que assegura uma distribuição de tensões realista na região de pormenor analisada.
Estados limite e cálculo da largura da fenda
A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é efectuada através de duas análises diferentes: uma para a capacidade de utilização e outra para combinações de cargas no estado limite último. A análise de utilização assume que o comportamento final do elemento é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas nos níveis de carga de utilização. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) para a análise de utilização, de modo a aumentar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo. Por conseguinte, recomenda-se a utilização do fluxo de trabalho apresentado abaixo, no qual a análise do estado limite último é efectuada como primeiro passo.
Análise do estado limite último
As diferentes verificações exigidas por códigos de projeto específicos são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações do estado limite último são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte da ligação).
Para garantir que um elemento estrutural tem um dimensionamento eficiente, é altamente recomendável executar uma análise preliminar que tenha em conta os seguintes passos:
- Escolher uma seleção das combinações de cargas mais críticas.
- Calcular apenas as combinações de carga do estado limite último (ULS).
- Utilizar uma malha grosseira (aumentando o multiplicador do tamanho de malha padrão em Configuração (Fig. 19)).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]
Este modelo será calculado muito rapidamente, permitindo aos projectistas rever a pormenorização do elemento estrutural de forma eficiente e executar novamente a análise até que todos os requisitos de verificação sejam cumpridos para as combinações de carga mais críticas. Uma vez cumpridos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se a inclusão de todas as combinações de cargas últimas e a utilização de uma malha fina (o tamanho de malha recomendado pelo programa). O utilizador pode alterar o tamanho da malha através do multiplicador, que pode atingir valores de 0,5 a 5 (Fig. 19).
Os resultados básicos e as verificações (tensão, deformação e utilização (i.e., o valor calculado/valor limite do código), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão) são apresentados através de diferentes gráficos, onde a compressão é geralmente apresentada a vermelho e a tensão a azul. Os valores globais mínimos e máximos para toda a estrutura podem ser destacados, assim como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Num separador separado do programa, podem ser mostrados resultados avançados como valores tensoriais, deformações da estrutura e relações de armadura (efectivas e geométricas) utilizadas para calcular o reforço de tração dos varões de reforço. Além disso, podem ser apresentadas cargas e reacções para combinações ou casos de carga selecionados.
Análise do estado limite de utilização
As avaliações SLS são efectuadas para a limitação de tensões, largura de fendas e limites de deflexão. As tensões são verificadas no betão e nos elementos de reforço de acordo com o código aplicável, de forma semelhante à especificada para o ULS.
A análise de utilização contém certas simplificações dos modelos constitutivos que são utilizados para a análise do estado limite último. Assume-se uma ligação perfeita, ou seja, o comprimento da ancoragem não é verificado no estado limite de utilização. Além disso, o ramo plástico da curva tensão-deformação do betão em compressão não é considerado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. Estas simplificações aumentam a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo, e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão do material resultante na utilização sejam claramente inferiores aos seus pontos de cedência (conforme exigido pelas normas). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para a capacidade de utilização só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.
Structural element checks according to Eurocode
Assessment of the structure using the CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for ultimate limit state load combinations. The serviceability analysis assumes that the ultimate behavior of the element is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.
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