1.1 Introducere generală privind calculul structural al detaliilor de beton

Proiectarea și evaluarea elementelor de beton se realizează în mod obișnuit la nivel secțional (element 1D) sau punctual (element 2D). Această procedură este descrisă în toate standardele de calcul structural, de exemplu în (EN 1992-1-1 sau ACI 318-19), și este utilizată în practica curentă de inginerie structurală. Cu toate acestea, nu este întotdeauna cunoscut sau respectat faptul că procedura este acceptabilă doar în zonele în care se aplică ipoteza Bernoulli-Navier a distribuției plane a deformațiilor (denumite zone B). Locurile în care această ipoteză nu se aplică sunt numite regiuni de discontinuitate sau regiuni perturbate (zone D). Exemple de zone B și D ale elementelor 1D sunt prezentate în (Fig. 1). Acestea sunt, de exemplu, zone de reazem, porțiuni unde se aplică încărcări concentrate, locații unde apare o schimbare bruscă a secțiunii transversale, goluri etc. La proiectarea structurilor de beton, întâlnim și multe alte zone D, cum ar fi pereți, diafragme de pod, console etc. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

În trecut, pentru dimensionarea regiunilor de discontinuitate se utilizau reguli de proiectare semi-empirice. Din fericire, aceste reguli au fost în mare parte înlocuite în ultimele decenii de modelele Bielă-tiranți (Schlaich et al., 1987) și câmpurile de tensiuni (Marti 1985), care sunt incluse în codurile de proiectare actuale și frecvent utilizate de proiectanți în prezent. Aceste modele sunt instrumente coerente din punct de vedere mecanic și foarte eficiente. De remarcat că câmpurile de tensiuni pot fi în general continue sau discontinue și că modelele Bielă-tiranți reprezintă un caz special al câmpurilor de tensiuni discontinue.

În ciuda evoluției instrumentelor de calcul din ultimele decenii, modelele Bielă-tiranți sunt în esență utilizate în continuare ca metode de calcul manual. Aplicarea lor pentru structuri reale este laborioasă și consumatoare de timp, deoarece sunt necesare iterații și trebuie luate în considerare mai multe combinații de încărcări. Mai mult, această metodă nu este adecvată pentru verificarea criteriilor de stare limită de serviciu (deformații, deschideri ale fisurilor etc.).

Interesul inginerilor structuriști pentru un instrument fiabil și rapid de proiectare a zonelor D a condus la decizia de a dezvolta noua Metodă a Câmpului de Tensiuni Compatibil, o metodă de proiectare asistată de calculator a câmpurilor de tensiuni, care permite proiectarea și evaluarea automată a elementelor de beton structural supuse la încărcări în plan.

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) este o metodă continuă de analiză a câmpurilor de tensiuni bazată pe elemente finite, în care soluțiile clasice ale câmpurilor de tensiuni sunt completate cu considerații cinematice, adică starea de deformație este evaluată în întreaga structură. Astfel, rezistența efectivă la compresiune a betonului poate fi calculată automat pe baza stării de deformație transversală, într-un mod similar cu analizele câmpului de compresiune care iau în considerare rezistența redusă a betonului comprimat (Vecchio și Collins 1986; Kaufmann și Marti 1998) și metoda EPSF (Fernández Ruiz și Muttoni 2007). Mai mult, CSFM ia în considerare participarea betonului întins, oferind rigidități realiste elementelor, și acoperă toate prescripțiile codurilor de proiectare (inclusiv aspectele de stare limită de serviciu și capacitate de deformație) care nu sunt abordate în mod consecvent de abordările anterioare. CSFM utilizează legi constitutive uniaxiale uzuale, furnizate de standardele de proiectare pentru beton și armătură. Acestea sunt cunoscute în faza de proiectare, ceea ce permite utilizarea metodei coeficienților parțiali de siguranță. Prin urmare, proiectanții nu trebuie să furnizeze proprietăți de material suplimentare, adesea arbitrare, cum sunt cele solicitate în mod tipic pentru analizele neliniare cu elemente finite, ceea ce face metoda perfect adecvată pentru practica inginerească.

Pentru a promova utilizarea câmpurilor de tensiuni asistate de calculator de către inginerii structuriști, aceste metode ar trebui implementate în medii software prietenoase cu utilizatorul. În acest scop, CSFM a fost implementat în IDEA StatiCa Detail; un nou software comercial ușor de utilizat, dezvoltat în comun de ETH Zurich și compania de software IDEA StatiCa în cadrul proiectului DR-Design Eurostars-10571.

1.3 Instrumente de proiectare pentru armătură

Flux de lucru și obiective

Scopul instrumentelor de proiectare a armăturii în CSFM este de a ajuta proiectanții să determine locația și cantitatea necesară de bare de armătură în mod eficient. Următoarele instrumente sunt disponibile pentru a ajuta/ghida utilizatorul în acest proces: calculul liniar și optimizarea topologică.

Instrumentele de proiectare a armăturii utilizează modele constitutive mai simplificate decât modelele folosite pentru verificarea finală a structurii. Prin urmare, definirea armăturii în această etapă trebuie considerată un pre-proiect care urmează să fie confirmat/rafinat în etapa de verificare finală. Utilizarea diferitelor instrumente de proiectare a armăturii va fi ilustrată pe modelul prezentat în Fig. 3, care constă dintr-un capăt al unei grinzi simplu rezemate cu înălțime variabilă, supusă unei încărcări uniform distribuite.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Analiză liniară

Analiza liniară consideră proprietăți de material liniar elastice și neglijează armătura în zona de beton. Prin urmare, este un calcul foarte rapid care oferă o primă imagine a locațiilor zonelor de întindere și compresiune. Un exemplu al unui astfel de calcul este prezentat în Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Optimizare topologică

Optimizarea topologică este o metodă care urmărește să găsească distribuția optimă a materialului într-un volum dat pentru o anumită configurație de încărcare. Optimizarea topologică implementată în Idea StatiCa Detail utilizează un model cu elemente finite liniar. Fiecare element finit poate avea o densitate relativă de la 0 la 100%, reprezentând cantitatea relativă de material utilizat. Aceste densități ale elementelor sunt parametrii de optimizare în problema de optimizare. Distribuția rezultată a materialului este considerată optimă pentru setul dat de încărcări dacă minimizează energia totală de deformație a sistemului. Prin definiție, distribuția optimă este, de asemenea, geometria care are cea mai mare rigiditate posibilă pentru încărcările date.

Procesul iterativ de optimizare începe cu o distribuție omogenă a densității. Calculul este efectuat pentru mai multe fracțiuni de volum total (20%, 40%, 60% și 80%), ceea ce permite utilizatorului să selecteze rezultatul cel mai practic. Forma rezultată constă din grinzi cu zăbrele cu biele și tiranți și reprezintă forma optimă pentru cazurile de încărcare date (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Introducere în implementarea metodei elementelor finite

CSFM consideră câmpuri de tensiuni continue în beton (elemente finite 2D), completate de elemente discrete de tip „bară" care reprezintă armătura (elemente finite 1D). Prin urmare, armătura nu este înglobată difuz în elementele finite 2D de beton, ci este modelată explicit și conectată la acestea. În modelul de calcul se consideră o stare plană de tensiuni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Pot fi modelate atât pereți întregi și grinzi, cât și detalii (porțiuni) ale grinzilor (zona de discontinuitate izolată, denumită și capăt trunchiat). În cazul pereților și al grinzilor întregi, rezemările trebuie definite astfel încât să rezulte o structură (extern) izostatică (static determinată) sau hiperstatică (static nedeterminată). Transferul de forțe la capetele trunchiate ale grinzilor este introdus printr-o zonă specială de transfer Saint-Venant, care asigură o distribuție realistă a tensiunilor în zona de detaliu analizată.

3.1 Stări limită și calculul deschiderii fisurilor

Evaluarea structurii folosind CSFM se realizează prin două analize diferite: una pentru starea limită de serviciu și una pentru combinațiile de încărcări la starea limită ultimă. Analiza la starea limită de serviciu presupune că comportamentul ultim al elementului este satisfăcător și că condițiile de curgere ale materialului nu vor fi atinse la nivelurile de încărcare de serviciu. Această abordare permite utilizarea unor modele constitutive simplificate (cu o ramură liniară a diagramei efort-deformație a betonului) pentru analiza la starea limită de serviciu, în scopul îmbunătățirii stabilității numerice și a vitezei de calcul. Prin urmare, se recomandă utilizarea fluxului de lucru prezentat mai jos, în care analiza la starea limită ultimă este efectuată ca prim pas.

Analiza la starea limită ultimă

Diferitele verificări impuse de codurile de proiectare specifice sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările la SLU sunt efectuate pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare prin aderență).

Pentru a asigura un proiect eficient al unui element structural, se recomandă cu tărie efectuarea unei analize preliminare care să țină cont de următorii pași:

• Alegeți o selecție a celor mai critice combinații de încărcări.
• Calculați doar combinațiile de încărcări la Starea Limită Ultimă (SLU).
• Utilizați o plasă grosieră (prin mărirea multiplicatorului dimensiunii implicite a plasei în Setup (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Un astfel de model va calcula foarte rapid, permițând proiectanților să revizuiască detaliile elementului structural în mod eficient și să repete analiza până când toate cerințele de verificare sunt îndeplinite pentru cele mai critice combinații de încărcări. Odată ce toate cerințele de verificare ale acestei analize preliminare sunt îndeplinite, se sugerează includerea combinațiilor complete de încărcări ultime și utilizarea unei plase fine (dimensiunea plasei recomandate de program). Utilizatorul poate modifica dimensiunea plasei prin multiplicator, care poate lua valori de la 0,5 la 5 (Fig. 19).

Rezultatele de bază și verificările (tensiune, deformație și grad de utilizare (adică valoarea calculată/valoarea limită din cod), precum și direcția tensiunilor principale în cazul elementelor din beton) sunt afișate prin intermediul diferitelor diagrame, unde compresiunea este prezentată în general în roșu și întinderea în albastru. Valorile globale minime și maxime pentru întreaga structură pot fi evidențiate, precum și valorile minime și maxime pentru fiecare parte definită de utilizator. Într-o filă separată a programului, pot fi afișate rezultate avansate, cum ar fi valorile tensoriale, deformațiile structurii și procentele de armare (efective și geometrice) utilizate pentru calculul participării betonului întins al barelor de armătură. De asemenea, pot fi prezentate încărcările și reacțiunile pentru combinațiile sau cazurile de încărcare selectate.

Analiza la starea limită de serviciu

Verificările la SLS sunt efectuate pentru limitarea tensiunilor, deschiderea fisurilor și limitele de deformație. Tensiunile sunt verificate în elementele de beton și armătură conform codului aplicabil, într-un mod similar celui specificat pentru SLU.

Analiza la starea limită de serviciu conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza la starea limită ultimă. Se presupune o aderență perfectă, adică lungimea de ancoraj nu este verificată la starea limită de serviciu. Mai mult, ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului la compresiune este neglijată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției, atât timp cât limitele de tensiune ale materialelor rezultante la starea limită de serviciu sunt clar sub punctele lor de curgere (conform cerințelor standardelor). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru starea limită de serviciu sunt valabile numai dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

Calculul lățimii fisurilor și participarea betonului întins

Calculul lățimii fisurilor

Există două moduri de calcul al lățimii fisurilor - fisurare stabilizată și nonstabilizată. În funcție de procentul geometric de armare din fiecare parte a structurii se decide ce tip de model de calcul al fisurilor va fi utilizat (TCM pentru fisurare stabilizată și POM pentru modelul de fisurare nonstabilizată).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

În timp ce CSFM furnizează un rezultat direct pentru majoritatea verificărilor (de ex., capacitatea elementului, săgețile…), rezultatele privind lățimea fisurilor sunt calculate din rezultatele deformațiilor armăturii furnizate direct de analiza cu Metoda Elementelor Finite, urmând metodologia descrisă în Fig. 20. Se consideră o cinematică a fisurii fără alunecare (deschidere pură a fisurii) (Fig. 20a), ceea ce este consistent cu ipotezele principale ale modelului. Direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor definesc înclinarea fisurilor (θ_r = θ_s= θ_e). Conform (Fig. 20b), lățimea fisurii (w) poate fi proiectată în direcția barei de armătură (w_b), rezultând:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

unde θ_b este înclinarea barei.

Rețineți că programul afișează valorile θ_r și θ_b < π/2. Aceasta înseamnă că ecuația anterioară este valabilă pentru cazurile în care armătura și fisura traversează cadrane diferite ale sistemului de coordonate cartezian, așa cum se arată în Fig. 20, unde armătura traversează cadranele I și III, iar fisura traversează cadranele II și IV. Pentru cazurile în care armătura și fisura traversează aceleași cadrane, ecuația trebuie modificată astfel:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Componenta w_b este calculată în mod consistent pe baza modelelor de participare a betonului întins, prin integrarea deformațiilor armăturii. Pentru zonele cu scheme de fisurare complet dezvoltate, deformațiile medii calculate (e_m) de-a lungul barelor de armătură sunt integrate direct pe distanța dintre fisuri (s_r), conform indicațiilor din (Fig. 20c). Deși această abordare pentru calculul direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea furnizează totuși valori reprezentative care conduc la rezultate ale lățimii fisurilor comparabile cu valorile lățimii fisurilor impuse de cod la poziția barei de armătură.

Situații speciale sunt observate la colțurile concave ale structurii calculate. În acest caz, colțul predefinește poziția unei singure fisuri care se comportă în mod nonstabilizat înainte ca fisuri adiacente suplimentare să se dezvolte. Aceste fisuri suplimentare se dezvoltă în general după domeniul de exploatare (Mata-Falcón 2015), ceea ce justifică calculul lățimii fisurilor într-o astfel de zonă ca și cum ar fi nonstabilizate (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Participarea betonului întins

Implementarea participării betonului întins face distincție între cazurile de scheme de fisurare stabilizată și nonstabilizată. În ambele cazuri, betonul este considerat complet fisurat înainte de încărcare, în mod implicit.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fisurare stabilizată

În schemele de fisurare complet dezvoltate, participarea betonului întins este introdusă utilizând Modelul Corzii în Întindere (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – care s-a dovedit că furnizează predicții excelente ale răspunsului în ciuda simplității sale (Burns 2012). TCM presupune o relație tensiune de forfecare prin aderență-alunecare în trepte, rigid-perfect plastică, cu τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pentru σ_s ≤ f_y și τ_b =τ_b1 = f_ctm pentru σ_s > f_y. Tratând fiecare bară de armătură ca o coardă în întindere ­– Fig. 22b și Fig. 22a – distribuția forțelor de forfecare prin aderență, a tensiunilor din oțel și beton și, prin urmare, distribuția deformațiilor între două fisuri poate fi determinată pentru orice valoare dată a tensiunilor maxime din oțel (sau deformațiilor) la fisuri.

Pentru s_r = s_r0, o nouă fisură poate sau nu să se formeze deoarece la mijlocul distanței dintre două fisuri σ_c1 = f_ct. În consecință, distanța dintre fisuri poate varia cu un factor de doi, adică s_r = λs_r0, cu l = 0,5…1,0. Presupunând o anumită valoare pentru λ, deformația medie a corzii (ε_m) poate fi exprimată ca funcție de tensiunile maxime din armătură (adică tensiunile la fisuri, σ_sr). Pentru diagrama bilineară idealizată tensiune-deformație a barelor de armătură goale, considerată implicit în CSFM, se obțin următoarele expresii analitice în formă închisă (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

unde:
E_sh           modulul de întărire al oțelului E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulul de elasticitate al armăturii,

Ø            diametrul barei de armătură,

s_r                distanța dintre fisuri,

σ_sr           tensiunile din armătură la fisuri,

σ_s            tensiunile efective din armătură,

f_y                limita de curgere a armăturii.

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail consideră distanța medie dintre fisuri în mod implicit atunci când efectuează analiza câmpului de tensiuni asistată de calculator. Distanța medie dintre fisuri este considerată a fi 2/3 din distanța maximă dintre fisuri (λ = 0,67), ceea ce urmează recomandările formulate pe baza testelor la încovoiere și întindere (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Trebuie remarcat că calculele lățimii fisurilor consideră o distanță maximă între fisuri (λ = 1,0) pentru a obține valori conservative.

Aplicarea TCM depinde de procentul de armare și, prin urmare, atribuirea unei arii corespunzătoare de beton care lucrează la întindere între fisuri fiecărei bare de armătură este esențială. O procedură numerică automată a fost dezvoltată pentru a defini procentul efectiv de armare corespunzător (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pentru orice configurație, inclusiv armătură oblică (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fisurare nonstabilizată

Fisurile existente în zonele cu procente geometrice de armare mai mici decât ρ_cr, adică cantitatea minimă de armătură pentru care armătura este capabilă să preia încărcarea de fisurare fără a ceda, sunt generate fie de acțiuni nemecanice (de ex. contracție) fie de propagarea fisurilor controlate de alte armături. Valoarea acestei armături minime se obține astfel:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

unde:

f_y              limita de curgere a armăturii,

f_ct             rezistența la întindere a betonului,

n              raportul modular, n = E_s / E_c .

Pentru beton și oțel de armătură convenționale, ρ_cr este de aproximativ 0,6%.

Pentru etrieri cu procente de armare sub ρ_cr, fisurarea este considerată nonstabilizată și participarea betonului întins este implementată prin intermediul Modelului de Smulgere (POM) descris în Fig. 22b. Acest model analizează comportamentul unei singure fisuri fără a considera interacțiunea mecanică dintre fisuri separate, neglijând deformabilitatea betonului la întindere și presupunând aceeași relație tensiune de forfecare prin aderență-alunecare în trepte, rigid-perfect plastică, utilizată de TCM. Aceasta permite obținerea distribuției deformațiilor din armătură (ε_s) în vecinătatea fisurii pentru orice tensiune maximă din oțel la fisură (σ_sr) direct din echilibru. Dat fiind faptul că distanța dintre fisuri este necunoscută pentru o schemă de fisurare incomplet dezvoltată, deformația medie (ε_m) este calculată pentru orice nivel de încărcare pe distanța dintre punctele cu alunecare zero atunci când bara de armătură atinge rezistența la întindere (f_t) la fisură (l_ε,avg în Fig. 22b), conducând la următoarele relații:

Modelele propuse permit calculul comportamentului armăturii aderente, care este în final considerat în analiză. Acest comportament (inclusiv participarea betonului întins) pentru cel mai comun oțel de armătură european (B500B, cu f_t / f_y = 1,08 și ε_u = 5%) este ilustrat în Fig. 22c-d.

Verificarea elementelor structurale conform Eurocode

Evaluarea structurii utilizând CSFM se realizează prin două analize diferite: una pentru starea limită de serviciu și una pentru combinațiile de încărcări la starea limită ultimă. Analiza la starea limită de serviciu presupune că comportamentul ultim al elementului este satisfăcător și că condițiile de curgere ale materialului nu vor fi atinse la nivelurile de încărcare corespunzătoare stării limită de serviciu. Această abordare permite utilizarea unor modele constitutive simplificate (cu o ramură liniară a diagramei efort-deformație a betonului) pentru analiza la starea limită de serviciu, în scopul îmbunătățirii stabilității numerice și a vitezei de calcul.

References

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.