The design and assessment of concrete elements are normally performed at the sectional (1D-element) or point (2D-element) level. This procedure is described in all standards for structural design, e.g., in (EN 1992-1-1 or ACI 318-19), and it is used in everyday structural engineering practice. However, it is not always known or respected that the procedure is only acceptable in areas where the Bernoulli-Navier hypothesis of plane strain distribution applies (referred to as B-regions). The places where this hypothesis does not apply are called discontinuity or disturbed regions (D-Regions). Examples of B and D regions of 1D-elements are given in (Fig. 1). These are, e.g., bearing areas, parts where concentrated loads are applied, locations where an abrupt change in the cross-section occurs, openings, etc. When designing concrete structures, we meet a lot of other D-Regions such as walls, bridge diaphragms, corbels, etc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

In the past, semi-empirical design rules were used for dimensioning discontinuity regions. Fortunately, these rules have been largely superseded over the past decades by strut-and-tie models (Schlaich et al., 1987) and stress fields (Marti 1985), which are featured in current design codes and frequently used by designers today. These models are mechanically consistent and powerful tools. Note that stress fields can generally be continuous or discontinuous and that strut-and-tie models are a special case of discontinuous stress fields.

Despite the evolution of computational tools over the past decades, Strut-and-Tie models are essentially still used as hand calculations. Their application for real-world structures is tedious and time-consuming since iterations are required, and several load cases need to be considered. Furthermore, this method is not suitable for verifying serviceability criteria (deformations, crack widths, etc.).

The interest of structural engineers in a reliable and fast tool to design D-regions led to the decision to develop the new Compatible Stress Field Method, a method for computer-aided stress field design that allows the automatic design and assessment of structural concrete members subjected to in-plane loading.

The Compatible Stress Field Method (CSFM) is a continuous FE-based stress field analysis method in which classic stress field solutions are complemented with kinematic considerations, i.e., the state of strain is evaluated throughout the structure. Hence, the effective compressive strength of concrete can be automatically computed based on the state of transverse strain in a similar manner as in compression field analyses that account for compression softening (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) and the EPSF method (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Moreover, the CSFM considers tension stiffening, providing realistic stiffnesses to the elements, and covers all design code prescriptions (including serviceability and deformation capacity aspects) not consistently addressed by previous approaches. The CSFM uses common uniaxial constitutive laws provided by design standards for concrete and reinforcement. These are known at the design stage, which allows the partial safety factor method to be used. Hence, designers do not have to provide additional, often arbitrary material properties as are typically required for non-linear FE-analyses, making the method perfectly suitable for engineering practice.

To foster the use of computer-aided stress fields by structural engineers, these methods should be implemented in user-friendly software environments. To this end, the CSFM has been implemented in IDEA StatiCa Detail; a new user-friendly commercial software developed jointly by ETH Zurich and the software company IDEA StatiCa in the framework of the DR-Design Eurostars-10571 project.

Analysis model of IDEA StatiCa Detail

Introdução à implementação de elementos finitos

O CSFM considera campos de tensão contínuos no betão (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "barras" que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não é difusamente incorporada nos elementos finitos 2D do betão, mas explicitamente modelada e ligada a eles. No modelo de cálculo é considerado um estado de tensão plano.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualização do modelo de cálculo de um elemento estrutural (viga aparada) no Idea StatiCa Detail.}}}\]

Podem ser modeladas paredes e vigas inteiras, bem como pormenores (partes) de vigas (região de descontinuidade isolada, também designada por extremidade aparada). No caso de paredes e vigas inteiras, os apoios devem ser definidos de forma a resultar numa estrutura (externamente) isostática (estaticamente determinada) ou hiperestática (estaticamente indeterminada). A transferência de carga nas extremidades cortadas das vigas é introduzida através de uma zona de transferência especial de Saint-Venant, que assegura uma distribuição de tensões realista na região de pormenor analisada.

Tipos de elementos finitos

O modelo de análise de elementos finitos não linear (inelástico) é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a ligação entre eles. Os elementos de betão e de armadura são inicialmente engrenados de forma independente e depois ligados entre si através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição arbitrária e relativa em relação ao betão. Se for necessário calcular a verificação do comprimento da ancoragem, são inseridos elementos de ligação e de mola final de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Modelo de elementos finitos: elementos de reforço mapeados para a malha de betão utilizando elementos MPC e elementos de ligação.}}}\]

Betão

O betão é modelado utilizando elementos de casca quadrilaterais e trilaterais, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos por quatro ou três nós, respetivamente. Assume-se que apenas existem tensões planas nestes elementos, ou seja, não são consideradas tensões ou deformações na direção z.

Cada elemento tem quatro ou três pontos de integração que são colocados a aproximadamente 1/4 do seu tamanho. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direcções das deformações principais _α1, _α2. Em ambas as direcções, as tensões principais _σc1, _σc2 e as rigidezes _E1, _E2 são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. Deve notar-se que o impacto do efeito de suavização da compressão associa o comportamento da direção principal de compressão ao estado atual da outra direção principal.

Reforço

As armaduras são modeladas por elementos de barra 1D de dois nós (CROD), que apenas têm rigidez axial. Estes elementos são ligados a elementos especiais de "ligação" que foram desenvolvidos para modelar o comportamento de deslizamento entre um varão de reforço e o betão circundante. Estes elementos de ligação são posteriormente ligados por elementos MPC (multi-point constraint) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a criação de malhas independentes para a armadura e para o betão, enquanto a sua interligação é assegurada posteriormente.

Elementos de ligação

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de ligação entre os elementos de betão (2D) e os elementos de barras de reforço (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido um elemento finito do tipo "ligação".

A definição do elemento de ligação é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). Também é definido por 4 nós, mas, ao contrário de uma casca, apenas tem uma rigidez ao corte diferente de zero entre os dois nós superiores e os dois inferiores. No modelo, os nós superiores estão ligados aos elementos que representam as armaduras e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de ligação, _τb, como uma função bilinear do deslizamento entre os nós superiores e inferiores, _δu, ver Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) ilustração concetual da deformação de um elemento de ligação; (b) uma função tensão-deformação.}}}\]

O módulo de rigidez elástica da relação ligação-deslizamento, _Gb, é definido da seguinte forma:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

onde:

coeficiente_kg dependente da superfície do varão de reforço (por defeito_kg= 0,2)

_Ec módulo de elasticidade do betão (tomado como _Ecm no caso da EN)

Ø o diâmetro do varão de reforço

Os valores de cálculo (valores ponderados) da tensão última de corte da ligação, _fbd, fornecidos nos respectivos códigos de cálculo selecionados EN 1992-1-1 ou ACI 318-19 são utilizados para verificar o comprimento da ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como ^Gb/105.

Mola de ancoragem

O fornecimento de extremidades de ancoragem aos varões de reforço (i.e., curvas, ganchos, laços...), que cumprem as prescrições dos códigos de dimensionamento, permite a redução do comprimento de ancoragem básico dos varões(lb_,net) por um determinado fator β (referido como o "coeficiente de ancoragem" abaixo). O valor de projeto do comprimento de ancoragem(_lb) é então calculado da seguinte forma:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

A redução pretendida em lb_,net é equivalente à ativação do varão de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima dada pelo coeficiente de redução da ancoragem, como se mostra na Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Modelo para a redução do comprimento da ancoragem:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) força de ancoragem ao longo do comprimento de ancoragem do varão de reforço; (b) relação constitutiva da força de ancoragem-deslizamento.}}}\]

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos através de um elemento de mola na extremidade do varão (Fig. 15), que é definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola(_Fau) é:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

onde :

β o coeficiente de ancoragem baseado no tipo de ancoragem,

_a secção transversal do varão de reforço,

_fyd o valor de projeto (valor calculado) da tensão de cedência da armadura.

Model verification

Estados limite e cálculo da largura da fenda

A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é efectuada através de duas análises diferentes: uma para a capacidade de utilização e outra para combinações de cargas no estado limite último. A análise de utilização assume que o comportamento final do elemento é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas nos níveis de carga de utilização. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) para a análise de utilização, de modo a aumentar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo. Por conseguinte, recomenda-se a utilização do fluxo de trabalho apresentado abaixo, no qual a análise do estado limite último é efectuada como primeiro passo.

Análise do estado limite último

As diferentes verificações exigidas por códigos de projeto específicos são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações do estado limite último são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte da ligação).

Para garantir que um elemento estrutural tem um dimensionamento eficiente, é altamente recomendável executar uma análise preliminar que tenha em conta os seguintes passos:

Escolher uma seleção das combinações de cargas mais críticas.
Calcular apenas as combinações de carga do estado limite último (ULS).
Utilizar uma malha grosseira (aumentando o multiplicador do tamanho de malha padrão em Configuração (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Este modelo será calculado muito rapidamente, permitindo aos projectistas rever a pormenorização do elemento estrutural de forma eficiente e executar novamente a análise até que todos os requisitos de verificação sejam cumpridos para as combinações de carga mais críticas. Uma vez cumpridos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se a inclusão de todas as combinações de cargas últimas e a utilização de uma malha fina (o tamanho de malha recomendado pelo programa). O utilizador pode alterar o tamanho da malha através do multiplicador, que pode atingir valores de 0,5 a 5 (Fig. 19).

Os resultados básicos e as verificações (tensão, deformação e utilização (i.e., o valor calculado/valor limite do código), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão) são apresentados através de diferentes gráficos, onde a compressão é geralmente apresentada a vermelho e a tensão a azul. Os valores globais mínimos e máximos para toda a estrutura podem ser destacados, assim como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Num separador separado do programa, podem ser mostrados resultados avançados como valores tensoriais, deformações da estrutura e relações de armadura (efectivas e geométricas) utilizadas para calcular o reforço de tração dos varões de reforço. Além disso, podem ser apresentadas cargas e reacções para combinações ou casos de carga selecionados.

Análise do estado limite de utilização

As avaliações SLS são efectuadas para a limitação de tensões, largura de fendas e limites de deflexão. As tensões são verificadas no betão e nos elementos de reforço de acordo com o código aplicável, de forma semelhante à especificada para o ULS.

A análise de utilização contém certas simplificações dos modelos constitutivos que são utilizados para a análise do estado limite último. Assume-se uma ligação perfeita, ou seja, o comprimento da ancoragem não é verificado no estado limite de utilização. Além disso, o ramo plástico da curva tensão-deformação do betão em compressão não é considerado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. Estas simplificações aumentam a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo, e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão do material resultante na utilização sejam claramente inferiores aos seus pontos de cedência (conforme exigido pelas normas). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para a capacidade de utilização só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

Structural verifications according to Eurocode

Assessment of the structure using CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for ultimate limit state load combinations. The serviceability analysis assumes that the ultimate behavior of the element is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.

Structural verifications according to ACI 318-19

Assessment of the structure using the CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for strength load combinations. The serviceability analysis assumes that the behavior under factored loads is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.

CSFM is in accordance with ACI 318-19, chapter 6.8.1.1. In order for the CSFM to meet the requirements from ACI 318-19 Section 6.8.1.2, a lot of verification testing was done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

Verifications: Detail 2D

Structural verifications according to Australian standard AS 3600 (2018)

The CSFM is a structural analysis method that satisfies the general rules in Chapters 6.1.1 and 6.1.2 and is defined as (f) non-linear stress analysis in Chapter 6.1.3 - further in Chapter 6.6.

The analysis by CSFM takes into account all relevant non-linear and inelastic effects (except shrinkage) defined in 6.6.3.

In order to satisfy the requirements in Sections 6.6.4 and 6.6.5 - more can be found in AS3600:2018 Sup 1:2022 Section C6.6 - verification and validations of the method were done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

Verifications: Detail 2D

Since IDEA StatiCa Detail is a practical design program, factored characteristic compressive cylinder strength at 28 days f'_c is used for calculations, as is described in the next chapter.

Prestressing - model description

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References

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