El CSFM considera campos de tensión continuos en el hormigón (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "varilla" que representan la armadura (elementos finitos 1D). Por lo tanto, la armadura no se incrusta difusamente en los elementos finitos 2D del hormigón, sino que se modela explícitamente y se conecta a ellos. En el modelo de cálculo se considera un estado de tensiones plano.

\[ \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 6\qquad Visualización del modelo de cálculo de un elemento estructural (viga recortada) en Idea StatiCa Detail.}}]

Se pueden modelizar tanto muros y vigas enteras, como detalles (partes) de vigas (región de discontinuidad aislada, también llamada extremo recortado). En el caso de muros y vigas enteras, los apoyos deben definirse de tal manera que resulte una estructura (externamente) isostática (estáticamente determinada) o hiperestática (estáticamente indeterminada). La transferencia de carga en los extremos recortados de las vigas se introduce mediante una zona de transferencia especial de Saint-Venant, que garantiza una distribución de tensiones realista en la región de detalle analizada.

Finite element types

The non-linear (inelastic) finite element analysis model is created by several types of finite elements used to model concrete, reinforcement, and the bond between them. Concrete and reinforcement elements are first meshed independently and then connected to each other using multi-point constraints (MPC elements). This allows the reinforcement to occupy an arbitrary, relative position in relation to the concrete. If anchorage length verification is to be calculated, bond and anchorage end spring elements are inserted between the reinforcement and the MPC elements.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Concrete

Concrete is modeled using quadrilateral and trilateral shell elements, CQUAD4 and CTRIA3. These can be defined by four or three nodes, respectively. Only plane stress is assumed to exist in these elements, i.e., stresses or strains in the z-direction are not considered.

Each element has four or three integration points which are placed at approximately 1/4 of its size. At each integration point in every element, the directions of principal strains α₁, α₂ are calculated. In both of these directions, the principal stresses σ_c₁, σ_c₂ and stiffnesses E₁, E₂ are evaluated according to the specified concrete stress-strain diagram, as per Fig. 2. It should be noted that the impact of the compression softening effect couples the behavior of the main compressive direction to the actual state of the other principal direction.

Reinforcement

Rebars are modeled by two-node 1D “rod” elements (CROD), which only have axial stiffness. These elements are connected to special “bond” elements which were developed in order to model the slip behavior between a reinforcing bar and the surrounding concrete. These bond elements are subsequently connected by MPC (multi-point constraint) elements to the mesh representing the concrete. This approach allows the independent meshing of reinforcement and concrete, while their interconnection is ensured later.

Bond elements

The anchorage length is verified by implementing the bond shear stresses between concrete elements (2D) and reinforcing bar elements (1D) in the finite element model. To this end, a “bond” finite element type was developed.

The definition of the bond element is similar to that of a shell element (CQUAD4). It is also defined by 4 nodes, but in contrast to a shell, it only has a non-zero stiffness in shear between the two upper and two lower nodes. In the model, the upper nodes are connected to the elements representing reinforcement and the lower nodes to those representing concrete. The behavior of this element is described by the bond stress, τ_b, as a bilinear function of the slip between the upper and lower nodes, δ_u, see Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

The elastic stiffness modulus of the bond-slip relationship, G_b, is defined as follows:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

where:

k_g coefficient depending on the reinforcing bar surface (by default k_g= 0.2)

E_c modulus of elasticity of concrete (taken as E_cm in case of EN)

Ø the diameter of the reinforcing bar

The design values (factored values) of ultimate bond shear stress, f_bd, provided in the respective selected design codes EN 1992-1-1 or ACI 318-19 are used to verify the anchorage length. The hardening of the plastic branch is calculated by default as G_b/10⁵.

Anchorage spring

The provision of anchorage ends to the reinforcing bars (i.e., bends, hooks, loops…), which fulfills the prescriptions of design codes, allows the reduction of the basic anchorage length of the bars (l_b,net) by a certain factor β (referred to as the ‘anchorage coefficient’ below). The design value of the anchorage length (l_b) is then calculated as follows:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

The intended reduction in l_b,net is equivalent to the activation of the reinforcing bar at its end at a percentage of its maximum capacity given by the anchorage reduction coefficient, as shown in Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

The reduction of the anchorage length is included in the finite element model by means of a spring element at the end of the bar (Fig. 15), which is defined by the constitutive model shown in Fig. 15b. The maximum force transmitted by this spring (F_au) is:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

where :

β the anchorage coefficient based on anchorage type,

A_s the cross-section of the reinforcing bar,

f_yd the design value (factored value) of the yield strength of the reinforcement.

Model verification

Estados límite y cálculo de la anchura de fisura

La evaluación de la estructura utilizando el CSFM se realiza mediante dos análisis diferentes: uno para la capacidad de servicio y otro para las combinaciones de carga de los estados límite últimos. El análisis de capacidad de servicio asume que el comportamiento último del elemento es satisfactorio y que las condiciones de fluencia del material no se alcanzarán en los niveles de carga de capacidad de servicio. Este enfoque permite el uso de modelos constitutivos simplificados (con una rama lineal del diagrama tensión-deformación del hormigón) para el análisis de capacidad de servicio con el fin de mejorar la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo. Por lo tanto, se recomienda utilizar el flujo de trabajo que se presenta a continuación, en el que el análisis del estado límite último se lleva a cabo como primer paso.

Análisis del estado límite último

Las diferentes verificaciones exigidas por los códigos de diseño específicos se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones ULS se llevan a cabo para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones de cizalladura de unión).

Para garantizar que un elemento estructural tiene un diseño eficiente, es muy recomendable ejecutar un análisis preliminar que tenga en cuenta los siguientes pasos:

Elegir una selección de las combinaciones de carga más críticas.
Calcular sólo las combinaciones de carga de Estado Límite Último (ELU).
Utilice una malla gruesa (aumentando el multiplicador del tamaño de malla por defecto en Configuración (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 19\qquad Multiplicador de malla.}}]

Dicho modelo se calculará muy rápidamente, permitiendo a los diseñadores revisar el detallado del elemento estructural de manera eficiente y volver a ejecutar el análisis hasta que se cumplan todos los requisitos de verificación para las combinaciones de carga más críticas. Una vez cumplidos todos los requisitos de verificación de este análisis preliminar, se sugiere incluir todas las combinaciones de carga última y utilizar un tamaño de malla fino (el tamaño de malla recomendado por el programa). El usuario puede cambiar el tamaño de malla mediante el multiplicador, que puede alcanzar valores de 0,5 a 5 (Fig. 19).

Los resultados básicos y las verificaciones (tensión, deformación y utilización (es decir, el valor calculado/valor límite del código), así como la dirección de las tensiones principales en el caso de elementos de hormigón) se muestran mediante diferentes gráficos donde la compresión se presenta generalmente en rojo y la tensión en azul. Pueden resaltarse los valores máximos y mínimos globales de toda la estructura, así como los valores máximos y mínimos de cada parte definida por el usuario. En una pestaña separada del programa, pueden mostrarse resultados avanzados como los valores de los tensores, las deformaciones de la estructura y las relaciones de armadura (efectiva y geométrica) utilizadas para calcular la rigidez a tracción de las barras de armadura. Además, pueden presentarse las cargas y reacciones para combinaciones o casos de carga seleccionados.

Análisis de los estados límite de servicio

Se realizan evaluaciones de los estados límite de servicio para la limitación de tensiones, la anchura de las fisuras y los límites de deformación. Las tensiones se comprueban en el hormigón y los elementos de refuerzo de acuerdo con el código aplicable de forma similar a la especificada para el ULS.

El análisis de capacidad de servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis de los estados límite últimos. Se supone una adherencia perfecta, es decir, la longitud de anclaje no se verifica en servicio. Además, no se tiene en cuenta la rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo, y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión del material resultantes en servicio estén claramente por debajo de sus límites elásticos (como exigen las normas). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados para la aptitud para el servicio sólo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

Cálculo de la anchura de la grieta y refuerzo por tracción

Cálculo de la anchura de la grieta

Existen dos formas de calcular la anchura de las fisuras: fisuración estabilizada y no estabilizada. En función de la relación geométrica de armadura en cada parte de la estructura se decide, qué tipo de modelo de cálculo de fisuración se utilizará (TCM para fisuración estabilizada y POM para modelo de fisuración no estabilizada).

\( \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 20 \qquad Cálculo del ancho de fisura: (a) cinemática de la fisura considerada; (b) proyección de la cinemática de la fisura en la principal}}) \(c) anchura de fisura en la dirección de la barra de armadura para fisuración estabilizada; (d) casos con fisuración estabilizada. \( \textsf{textit{footnotesize{fisuración local no estabilizada independientemente de la cantidad de armadura; (e) ancho de fisura en la dirección de la barra de armadura}})\( \textsf{textit{footnotesize{para fisuración no estabilizada.}})

Mientras que el CSFM proporciona un resultado directo para la mayoría de las comprobaciones (por ejemplo, capacidad de la barra, flechas...), los resultados de la anchura de fisura se calculan a partir de los resultados de la deformación de la armadura proporcionados directamente por el análisis de EF siguiendo la metodología descrita en la Fig. 20. Se considera una cinemática de fisura sin deslizamiento (apertura de fisura pura) (Fig. 20a), que es coherente con los principales supuestos del modelo. Las direcciones principales de las tensiones y deformaciones definen la inclinación de las grietas (_θr = _θs=θe). De acuerdo con (Fig. 20b), la anchura de la grieta(w) puede proyectarse en la dirección de la barra de refuerzo(_wb), lo que conduce a:

\[w = \frac{w_b}{cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\].

donde _θb es la inclinación de la barra.

Tenga en cuenta, que el programa muestra los valores de _θr y _θb < π/2. Significa que la ecuación anterior funciona para los casos, donde la armadura y la grieta pasan por los diferentes cuadrantes del sistema de coordenadas cartesianas como se muestra en la Fig. 20, donde la armadura pasa por I. y III. cuadrantes y la grieta por II y IV. Para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan los mismos cuadrantes, la ecuación debe modificarse como sigue:

\[w = \frac{w_b}{coscos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\].

La componente _wb se calcula de forma coherente a partir de los modelos de rigidización a tracción mediante la integración de las deformaciones de la armadura. Para aquellas regiones con patrones de grietas completamente desarrollados, las deformaciones medias calculadas (_em) a lo largo de las barras de refuerzo se integran directamente a lo largo de la separación de grietas(_sr), como se indica en (Fig. 20c). Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no se corresponde con la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que conducen a resultados de anchura de fisura que pueden compararse con los valores de anchura de fisura requeridos por el código en la posición de la barra de refuerzo.

Se observan situaciones especiales en las esquinas cóncavas de la estructura calculada. En este caso, la esquina predetermina la posición de una única grieta que se comporta de forma no estabilizada antes de que se desarrollen grietas adyacentes adicionales. Estas grietas adicionales se desarrollan generalmente después del rango de serviciabilidad (Mata-Falcón 2015), lo que justifica el cálculo de los anchos de grieta en dicha región como si fueran no estabilizadas (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 21\qquad Definición de la región en esquinas cóncavas en la que se calcula el ancho de fisura como si fuera no estabilizada.}}]

Rigidización por tensión

La aplicación de la rigidización a tracción distingue entre los casos de fisuras estabilizadas y no estabilizadas. En ambos casos, el hormigón se considera completamente agrietado antes de la carga por defecto.

\( \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 22\qquad Modelo de rigidización por tracción: (a) elemento de cordón de tracción para fisuración estabilizada con distribución de cortante de adherencia,}}}) \tensiones del acero y del hormigón, y deformaciones del acero entre fisuras, considerando la separación media entre fisuras; (b) hipótesis de arrancamiento}}) \para fisuración no estabilizada con distribución de tensiones y deformaciones de acero y de cizalladura de adherencia alrededor de la fisura; (c) resultante}}) \Comportamiento del cordón de tracción en términos de tensiones de armadura en las fisuras y deformaciones medias para el acero europeo B500B. \(d) Detalle de las ramas iniciales de la respuesta del cordón de tracción.

Fisuración estabilizada

En patrones de grieta completamente desarrollados, la rigidización por tensión se introduce utilizando el Modelo de Cuerda de Tensión (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) - Fig. 22a - que ha demostrado dar excelentes predicciones de respuesta a pesar de su simplicidad (Burns 2012). El TCM asume una relación de esfuerzo cortante de adherencia escalonada, rígida-perfectamente plástica con τb₌_τb0 =2 _fctm para _σs ≤ _fy y _τb _=τb1 = _fctm para σs_{> fy}. Tratando cada barra de refuerzo como una cuerda de tracción - Fig. 22b y Fig. 22a - se puede determinar la distribución de las tensiones de cortante de enlace, del acero y del hormigón y, por tanto, la distribución de tensiones entre dos fisuras para cualquier valor dado de las tensiones (o deformaciones) máximas del acero en las fisuras.

Para_sr = _sr0, puede formarse o no una nueva grieta porque en el centro entre dos grietas _σc1 = _fct. En consecuencia, la separación entre grietas puede variar en un factor de dos, es decir,_sr = _λsr0, con l = 0,5...1,0. Suponiendo un valor determinado de λ, la deformación media de la cuerda (_εm) puede expresarse en función de las tensiones máximas de la armadura (es decir, las tensiones en las fisuras, _σsr). Para el diagrama de tensión-deformación bilineal idealizado para las barras desnudas de refuerzo consideradas por defecto en el CSFM, se obtienen las siguientes expresiones analíticas de forma cerrada (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\].

\textrm{for}qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\{\varepsilon_m} = {\frac{{{{\left( {{sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}left( {1 - \frac{{E_{sh}{tau_{b0}}}}{{E_s}{tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{left( {{sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{E_s}{frac{{{tau_{b0}}}}{{\tau_{b1}}}} + \left( {{{varepsilon_y}} - \frac{{\tau_{b0}} {{s_r}} {{E_s}Ø}} {right)}]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \...es decir, a la izquierda... \izquierda( {{f_y} + \frac{2{\tau _{b1}}{s_r}}Ø} {derecha)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\izquierda(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r} {Ø}derecha) \le \sigma_{sr}} \f_t\]

donde:
_Esh el módulo de endurecimiento del acero_Esh =(_ft - _fy)/(_εu - _fy _/Es) ,

_Es el módulo de elasticidad de la armadura,

Ø diámetro de la barra de refuerzo,

_sr distancia entre^fisuras,

_σsr tensiones de la armadura en las fisuras,

_σs tensiones reales de la armadura,

fy límite_elásticode la armadura.

La implementación de Idea StatiCa Detail del CSFM considera por defecto la separación media entre fisuras al realizar el análisis del campo de tensiones asistido por ordenador. Se considera que la separación media de fisuras es 2/3 de la separación máxima de fisuras (λ = 0,67), lo que sigue las recomendaciones realizadas a partir de ensayos de flexión y tracción (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cabe señalar que en los cálculos de la anchura de las grietas se considera una separación máxima entre grietas (λ = 1,0) para obtener valores conservadores.

La aplicación del MTC depende de la relación de armadura, por lo que es crucial la asignación a cada barra de armadura de una superficie de hormigón adecuada que actúe a tracción entre las fisuras. Se ha desarrollado un procedimiento numérico automático para definir la correspondiente relación de armadura efectiva (_ρeff = As/Ac_,eff) para cualquier configuración, incluida la armadura sesgada (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 23\qquad Área efectiva de hormigón en tensión para fisuración estabilizada: (a) área máxima de hormigón que puede activarse;}}}) \(b) cubierta y condición de simetría global; (c) área efectiva resultante.

Agrietamiento no estabilizado

Las fisuras existentes en regiones con relaciones geométricas de armadura inferiores a _ρcr, es decir, la cantidad mínima de armadura para la que ésta es capaz de soportar la carga de fisuración sin ceder, se generan por acciones no mecánicas (por ejemplo, retracción) o por la progresión de fisuras controladas por otras armaduras. El valor de esta armadura mínima se obtiene de la siguiente manera:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{f_{ct}}}}}{{{f_y}} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}}]

donde:

_fy límite elástico de la armadura,

_fct resistencia a la tracción del hormigón,

n relación modular, n =_Es /_Ec.

Para el hormigón convencional y el acero de armadura, _ρcr asciende aproximadamente al 0,6%.

Para estribos con relaciones de armadura inferiores a _ρcr, la fisuración se considera no estabilizada y la rigidización a tracción se implementa mediante el Modelo Pull-Out (POM) descrito en la Fig. 22b. Este modelo analiza el comportamiento de una única fisura considerando que no hay interacción mecánica entre fisuras separadas, despreciando la deformabilidad del hormigón a tracción y asumiendo la misma relación escalonada, rígida-perfectamente plástica de esfuerzo cortante de adherencia-deslizamiento utilizada por el MTC. Esto permite obtener la distribución de la deformación de la armadura (_εs) en las proximidades de la fisura para cualquier tensión máxima del acero en la fisura (_σsr) directamente a partir del equilibrio. Dado que se desconoce el espaciado de la fisura para un patrón de fisura no completamente desarrollado, la deformación media (_εm) se calcula para cualquier nivel de carga sobre la distancia entre puntos con deslizamiento cero cuando la barra de refuerzo alcanza su resistencia a tracción(_ft) en la fisura(lε_,_avg en Fig. 22b), dando lugar a las siguientes relaciones:

Los modelos propuestos permiten calcular el comportamiento de la armadura adherida, que finalmente se considera en el análisis. Este comportamiento (incluyendo la rigidización a tracción) para la armadura europea más común (B500B, con_ft / _fy = 1,08 y _εu = 5%) se ilustra en la Fig. 22c-d.

Structural verifications according to Eurocode

Assessment of the structure using CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for ultimate limit state load combinations. The serviceability analysis assumes that the ultimate behavior of the element is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.

Structural verifications according to ACI 318-19

Assessment of the structure using the CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for strength load combinations. The serviceability analysis assumes that the behavior under factored loads is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.

CSFM is in accordance with ACI 318-19, chapter 6.8.1.1. In order for the CSFM to meet the requirements from ACI 318-19 Section 6.8.1.2, a lot of verification testing was done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

Verifications: Detail 2D

Reducción de la resistencia y factores de carga

El Método del Campo de Tensiones Compatible cumple los códigos de diseño modernos. Dado que los modelos de cálculo sólo utilizan propiedades de material estándar, el formato de factor de seguridad parcial prescrito en los códigos de diseño puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se factorizan y las propiedades características del material se reducen utilizando los factores de reducción de resistencia respectivos, exactamente igual que en el análisis convencional del hormigón.

Los valores de los factores de reducción de resistencia se prescriben en ACI 318-19 Cl. 21.2. Los valores por defecto para el hormigón y la armadura se eligen basándose en la suposición de que el ejemplo típico resuelto en la aplicación es a cortante controlado (basado en la Tabla 21.2.1 (b), (f), (g)). Sin embargo, es posible modelizar cualquier tipo de elemento. Por lo tanto, si se evalúa un elemento controlado por compresión o tracción, el usuario tiene la opción de cambiar el valor del factor de reducción de resistencia en las Preferencias.

\[ \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 44\qquad Ajuste de los factores de reducción de resistencia en IDEA StatiCa Detail.}}]

Losfactores de carga para las combinaciones de resistencia se definirán de acuerdo con ACI 318-19 Tabla 5.3.1.

Excepto lo indicado en el Capítulo 34, las combinaciones de carga a nivel de servicio no están definidas en ACI 318-19. Se recomienda utilizar reglas de combinación basadas en el Apéndice C de ASCE/SEI 7-16. Para todas las plantillas, los factores de carga ya están predefinidos.

\[ \textsf{\textit{footnotesize{Fig. 45\qquad La configuración de factores de carga en Idea StatiCa Detail.}}]

Structural verifications according to Australian standard AS 3600 (2018)

The CSFM is a structural analysis method that satisfies the general rules in Chapters 6.1.1 and 6.1.2 and is defined as (f) non-linear stress analysis in Chapter 6.1.3 - further in Chapter 6.6.

The analysis by CSFM takes into account all relevant non-linear and inelastic effects (except shrinkage) defined in 6.6.3.

In order to satisfy the requirements in Sections 6.6.4 and 6.6.5 - more can be found in AS3600:2018 Sup 1:2022 Section C6.6 - verification and validations of the method were done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

Verifications: Detail 2D

Since IDEA StatiCa Detail is a practical design program, factored characteristic compressive cylinder strength at 28 days f'_c is used for calculations as is described in the next chapter.

Prestressing - model description

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References

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