The theoretical background is based on COMPATIBLE STRESS FIELD DESIGN OF STRUCTURAL CONCRETE
(Kaufmann et al., 2020)

Obecný úvod pro konstrukční návrh betonových detailů

Návrh a posouzení betonových prvků se obvykle provádí na úrovni průřezu (1D-prvek) nebo bodu (2D-prvek). Tento postup je popsán ve všech normách pro konstrukční navrhování, např. v (EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19), a je používán v každodenní praxi stavebního inženýrství. Není však vždy známo nebo respektováno, že tento postup je přijatelný pouze v oblastech, kde platí Bernoulliho-Navierova hypotéza rovinného rozdělení přetvoření (označované jako B-oblasti). Místa, kde tato hypotéza neplatí, se nazývají oblasti nespojitosti nebo porušené oblasti (D-oblasti). Příklady B a D oblastí 1D-prvků jsou uvedeny na (Obr. 1). Jedná se např. o ložiskové oblasti, části, kde jsou přenášena soustředěná zatížení, místa s náhlou změnou průřezu, otvory apod. Při navrhování betonových konstrukcí se setkáváme s mnoha dalšími D-oblastmi, jako jsou stěny, mostní příčníky, krátké konzoly atd. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

V minulosti se pro dimenzování oblastí nespojitosti používala poloempirická návrhová pravidla. Tato pravidla byla naštěstí v posledních desetiletích z velké části nahrazena modely vzpěra-táhlo (Schlaich et al., 1987) a napěťovými poli (Marti 1985), které jsou zahrnuty v současných návrhových normách a dnes je návrháři hojně využívají. Tyto modely jsou mechanicky konzistentní a výkonné nástroje. Je třeba poznamenat, že napěťová pole mohou být obecně spojitá nebo nespojitá a že modely vzpěra-táhlo jsou zvláštním případem nespojitých napěťových polí.

Navzdory vývoji výpočetních nástrojů v posledních desetiletích se modely vzpěra-táhlo stále v podstatě používají jako ruční výpočty. Jejich aplikace pro reálné konstrukce je zdlouhavá a časově náročná, protože jsou nutné iterace a je třeba uvažovat několik zatěžovacích stavů. Tato metoda navíc není vhodná pro ověřování kritérií mezního stavu použitelnosti (deformace, šířky trhlin atd.).

Zájem stavebních inženýrů o spolehlivý a rychlý nástroj pro navrhování D-oblastí vedl k rozhodnutí vyvinout novou Compatible Stress Field Method – metodu pro počítačem podporovaný návrh napěťových polí, která umožňuje automatický návrh a posouzení prvků ze stavebního betonu namáhaných rovinným zatížením.

Compatible Stress Field Method (CSFM) je spojitá metoda analýzy napěťových polí založená na metodě konečných prvků, v níž jsou klasická řešení napěťových polí doplněna o kinematické úvahy, tj. stav přetvoření je vyhodnocován v celé konstrukci. Efektivní pevnost betonu v tlaku tak může být automaticky vypočtena na základě stavu příčného přetvoření podobným způsobem jako v analýzách tlakových polí, které zohledňují tlakové změkčení (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) a metodu EPSF (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). CSFM navíc zohledňuje tahové zpevnění, čímž poskytuje prvkům realistické tuhosti, a pokrývá všechna předpisy návrhových norem (včetně aspektů použitelnosti a deformační kapacity), které předchozí přístupy neřešily konzistentně. CSFM využívá běžné jednoosé konstitutivní zákony pro beton a vyztužení stanovené návrhovými normami. Ty jsou známy ve fázi návrhu, což umožňuje použití metody dílčích součinitelů spolehlivosti. Návrháři tak nemusí zadávat dodatečné, často libovolné vlastnosti materiálů, které jsou typicky vyžadovány pro nelineární analýzy metodou konečných prvků, což metodu činí dokonale vhodnou pro inženýrskou praxi.

Aby se podpořilo využívání počítačem podporovaných napěťových polí stavebními inženýry, měly by být tyto metody implementovány v uživatelsky přívětivém softwarovém prostředí. Za tímto účelem byla CSFM implementována v IDEA StatiCa Detail; novém uživatelsky přívětivém komerčním softwaru vyvinutém společně ETH Curych a softwarovou společností IDEA StatiCa v rámci projektu DR-Design Eurostars-10571.

1.3 Návrhové nástroje pro vyztužení

Pracovní postup a cíle

Cílem návrhových nástrojů pro vyztužení v metodě CSFM je pomoci projektantům efektivně určit polohu a požadované množství výztužných prutů. K dispozici jsou následující nástroje, které uživatele v tomto procesu vedou: lineární výpočet a topologická optimalizace.

Návrhové nástroje pro vyztužení používají zjednodušenější konstitutivní modely než modely používané pro závěrečné ověření konstrukce. Proto by návrh vyztužení v tomto kroku měl být považován za předběžný návrh, který je třeba potvrdit/upřesnit v průběhu závěrečného ověřovacího kroku. Použití jednotlivých návrhových nástrojů pro vyztužení bude znázorněno na modelu zobrazeném na obr. 3, který představuje jeden konec prostě podepřeného nosníku s proměnnou výškou zatíženého rovnoměrně rozloženým zatížením.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Lineární analýza

Lineární analýza uvažuje lineárně elastické vlastnosti materiálu a zanedbává vyztužení v oblasti betonu. Jedná se tedy o velmi rychlý výpočet, který poskytuje první přehled o poloze tahových a tlakových oblastí. Příklad takového výpočtu je znázorněn na obr. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Topologická optimalizace

Topologická optimalizace je metoda, jejímž cílem je nalézt optimální rozložení materiálu v daném objemu pro určitou konfiguraci zatížení. Topologická optimalizace implementovaná v Idea StatiCa Detail využívá lineární model konečných prvků. Každý konečný prvek může mít relativní hustotu od 0 do 100 %, která představuje relativní množství použitého materiálu. Tyto hustoty prvků jsou optimalizačními parametry v optimalizační úloze. Výsledné rozložení materiálu je považováno za optimální pro danou sadu zatížení, pokud minimalizuje celkovou energii přetvoření soustavy. Z definice je optimální rozložení zároveň geometrií s největší možnou tuhostí pro daná zatížení.

Iterační optimalizační proces začíná homogenním rozložením hustoty. Výpočet se provádí pro více hodnot celkového objemového podílu (20 %, 40 %, 60 % a 80 %), což umožňuje uživateli vybrat nejpraktičtější výsledek. Výsledný tvar se skládá z příhradových soustav s tlakovými vzpěrami a táhly a představuje optimální tvar pro dané zatěžovací stavy (obr. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2.1 Úvod do implementace metody konečných prvků

CSFM uvažuje spojitá napěťová pole v betonu (2D konečné prvky), doplněná diskrétními prvky „prutů" reprezentujícími vyztužení (1D konečné prvky). Vyztužení tedy není difuzně zabudováno do 2D konečných prvků betonu, ale je explicitně modelováno a propojeno s nimi. Ve výpočetním modelu je uvažován rovinný stav napětí.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelovat lze jak celé stěny a nosníky, tak i detaily (části) nosníků (izolovaná oblast nespojitosti, označovaná také jako oříznutý konec). V případě stěn a celých nosníků musí být podpory definovány tak, aby výsledná konstrukce byla (vnějšně) izostatická (staticky určitá) nebo hyperstatická (staticky neurčitá). Přenos zatížení na oříznutých koncích nosníků je zajištěn pomocí speciální přenosové zóny Saint-Venant, která zajišťuje realistické rozdělení napětí v analyzované oblasti detailu.

3.1 Mezní stavy a výpočet šířky trhlin

Posouzení konstrukce pomocí CSFM se provádí dvěma různými analýzami: jednou pro kombinace zatížení v mezním stavu použitelnosti a jednou pro kombinace zatížení v mezním stavu únosnosti. Analýza použitelnosti předpokládá, že mezní chování prvku je vyhovující a podmínky plasticity materiálu nebudou při úrovních zatížení v mezním stavu použitelnosti dosaženy. Tento přístup umožňuje použití zjednodušených konstitutivních modelů (s lineární větví diagramu napětí-přetvoření betonu) pro analýzu použitelnosti za účelem zvýšení numerické stability a rychlosti výpočtu. Proto se doporučuje použít níže uvedený postup, ve kterém je analýza mezního stavu únosnosti provedena jako první krok.

Analýza mezního stavu únosnosti

Různá ověření požadovaná konkrétními návrhových normami jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Aby bylo zajištěno efektivní navržení konstrukčního prvku, důrazně se doporučuje provést předběžnou analýzu, která zohledňuje následující kroky:

• Zvolte výběr nejkritičtějších kombinací zatížení.
• Vypočítejte pouze kombinace zatížení v mezním stavu únosnosti (MSÚ).
• Použijte hrubou síť (zvýšením násobitele výchozí velikosti sítě v Nastavení (Obr. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Takový model se vypočítá velmi rychle, což umožňuje projektantům efektivně přezkoumat detailování konstrukčního prvku a opakovaně spouštět analýzu, dokud nejsou splněny všechny požadavky na ověření pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou splněny všechny požadavky na ověření této předběžné analýzy, doporučuje se zahrnout úplné kombinace mezního zatížení a použít jemnou velikost sítě (velikost sítě doporučenou programem). Uživatel může změnit velikost sítě pomocí násobitele, který může nabývat hodnot od 0,5 do 5 (Obr. 19).

Základní výsledky a ověření (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota/limitní hodnota z normy), jakož i směr hlavních napětí v případě betonových prvků) jsou zobrazeny pomocí různých grafů, kde tlak je obecně zobrazen červeně a tah modře. Globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci mohou být zvýrazněny, stejně jako minimální a maximální hodnoty pro každou uživatelem definovanou část. Na samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, jako jsou hodnoty tenzorů, deformace konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrické) použité pro výpočet tahového zpevnění výztužných prutů. Dále lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

Analýza mezního stavu použitelnosti

Posouzení MSP se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity průhybů. Napětí jsou ověřována v betonových a výztužných prvcích podle příslušné normy podobným způsobem, jako je stanoveno pro MSÚ.

Analýza použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, které jsou používány pro analýzu mezního stavu únosnosti. Předpokládá se dokonalá soudržnost, tj. kotevní délka není ověřována při mezním stavu použitelnosti. Dále je zanedbána plastická větev křivky napětí-přetvoření betonu v tlaku, zatímco elastická větev je lineární a nekonečná. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledné limity napětí materiálu při použitelnosti zřetelně pod jejich mezemi kluzu (jak vyžadují normy). Proto jsou zjednodušené modely používané pro použitelnost platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky na ověření.

Výpočet šířky trhlin a tahové zpevnění

Výpočet šířky trhlin

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin – stabilizované a nestabilizované trhliny. Na základě geometrického stupně vyztužení v každé části konstrukce se rozhoduje, který typ modelu výpočtu trhlin bude použit (TCM pro stabilizované trhliny a POM pro nestabilizované trhliny).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, průhyby…), výsledky šířky trhlin jsou vypočítány z výsledků přetvoření výztuže přímo poskytnutých analýzou MKP podle metodiky popsané na Obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez skluzu (čisté otevírání trhliny) (Obr. 20a), což je v souladu s hlavními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření definují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (Obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout do směru prutu výztuže (w_b), což vede k:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

kde θ_b je sklon prutu výztuže.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí různými kvadranty kartézského souřadnicového systému, jak je znázorněno na Obr. 20, kde výztuž prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. kvadrantem. Pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí stejnými kvadranty, je nutné rovnici upravit takto:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Složka w_b je konzistentně vypočítána na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření výztuže. Pro oblasti s plně rozvinutým vzorem trhlin jsou vypočítaná průměrná přetvoření (e_m) podél prutů výztuže přímo integrována podél rozteče trhlin (s_r), jak je uvedeno na (Obr. 20c). Přestože tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, stále poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě prutu výztuže.

Zvláštní situace nastávají v konkávních rozích posuzované konstrukce. V tomto případě roh předurčuje polohu jediné trhliny, která se chová nestabilizovaným způsobem, dokud se nevyvinou další sousední trhliny. Tyto další trhliny se obecně vyvíjejí až po překročení provozního rozsahu (Mata-Falcón 2015), což odůvodňuje výpočet šířky trhlin v takové oblasti jako nestabilizovaných (Obr. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného vzoru trhlin. V obou případech se beton standardně považuje za plně popraskany před zatížením.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Stabilizované trhliny

U plně rozvinutých vzorů trhlin je tahové zpevnění zavedeno pomocí modelu tahového táhla (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Obr. 22a – u kterého bylo prokázáno, že navzdory své jednoduchosti poskytuje vynikající předpovědi odezvy (Burns 2012). TCM předpokládá stupňovitý, tuhý-dokonale plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Při uvažování každého prutu výztuže jako tahového táhla ­– Obr. 22b a Obr. 22a – lze pro libovolnou danou hodnotu maximálního napětí oceli (nebo přetvoření) v trhlinách stanovit rozložení smykového napětí soudržnosti, napětí oceli a betonu, a tedy rozložení přetvoření mezi dvěma trhlinami.

Pro s_r = s_r0 může nebo nemusí vzniknout nová trhlina, protože ve středu mezi dvěma trhlinami platí σ_c1 = f_ct. V důsledku toho se rozteč trhlin může lišit o faktor dva, tj. s_r = λs_r0, kde l = 0,5…1,0. Při předpokladu určité hodnoty λ lze průměrné přetvoření táhla (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí výztuže (tj. napětí v trhlinách, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé pruty výztuže uvažované standardně v CSFM jsou získány následující analytické výrazy v uzavřeném tvaru (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti výztuže,

Ø            průměr prutu výztuže,

s_r                rozteč trhlin,

σ_sr           napětí výztuže v trhlinách,

σ_s            skutečné napětí výztuže,

f_y                mez kluzu výztuže.

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail standardně uvažuje průměrnou rozteč trhlin při provádění počítačové analýzy napěťových polí. Průměrná rozteč trhlin je uvažována jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0,67), což vychází z doporučení na základě zkoušek ohybem a tahem (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že výpočty šířky trhlin uvažují maximální rozteč trhlin (λ = 1,0) za účelem získání konzervativních hodnot.

Použití TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je klíčové přiřazení odpovídající plochy betonu působícího v tahu mezi trhlinami ke každému prutu výztuže. Byl vyvinut automatický numerický postup pro definování odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro libovolnou konfiguraci, včetně šikmého vyztužení (Obr. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Nestabilizované trhliny

Trhliny vyskytující se v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení při vzniku trhliny bez dosažení meze kluzu, jsou způsobeny buď nemechanickými účinky (např. smršťováním) nebo šířením trhlin řízených jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se získá takto:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

kde:

f_y              mez kluzu výztuže,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              modulový poměr, n = E_s / E_c .

Pro běžný beton a betonářskou ocel činí ρ_cr přibližně 0,6 %.

Pro třmínky se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr je trhlina považována za nestabilizovanou a tahové zpevnění je implementováno pomocí modelu vytažení (POM) popsaného na Obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, zanedbává deformovatelnost betonu v tahu a předpokládá stejný stupňovitý, tuhý-dokonale plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu používaný TCM. To umožňuje získat rozložení přetvoření výztuže (ε_s) v okolí trhliny pro libovolné maximální napětí oceli v trhlině (σ_sr) přímo z podmínek rovnováhy. Vzhledem k tomu, že rozteč trhlin je pro neúplně rozvinutý vzor trhlin neznámá, je průměrné přetvoření (ε_m) vypočítáno pro libovolnou úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým skluzem, kdy prut výztuže dosahuje své pevnosti v tahu (f_t) v trhlině (l_ε,avg na Obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují výpočet chování soudržné výztuže, která je nakonec zohledněna v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou betonářskou ocel (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na Obr. 22c-d.

Normové posouzení konstrukčních prvků podle Eurokódu

Posouzení konstrukce pomocí CSFM se provádí dvěma různými analýzami: jednou pro mezní stav použitelnosti a jednou pro kombinace zatížení na mezní stav únosnosti. Analýza MSP předpokládá, že mezní chování prvku je vyhovující a podmínky plasticity materiálu nebudou dosaženy při úrovních zatížení odpovídajících MSP. Tento přístup umožňuje použití zjednodušených konstitutivních modelů (s lineární větví diagramu napětí-přetvoření betonu) pro analýzu MSP za účelem zvýšení numerické stability a rychlosti výpočtu.

References

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.

Přiložené soubory ke stažení

• Theoretical Background 20.pdf (PDF, 2,1 MB)