Der theoretische Hintergrund basiert auf der KOMPATIBLEN SPANNUNGSFELDBEMESSUNG VON BETONBAUTEILEN (Kaufmann et al., 2020)

Konstruktive Bemessung von Betondiskontinuitäten in IDEA StatiCa Detail

Allgemeine Einführung für die konstruktive Bemessung von Betondetails
Hauptannahmen und Einschränkungen
Bewehrungsbemessung
Finite Elemente Implementierung in IDEA StatiCa Detail
   - Lagerungen und Komponenten zur Lastübertragung
   - Lastübertragung an geschnittenen Trägerenden
   - Geometrische Bearbeitung von Querschnitten
   - Finite Elemente Typen
   - Vernetzung
   - Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle
   - Darstellung der Ergebnisse
Verifizierung von Strukturelementen in IDEA StatiCa Detail
Verifizierung der Struktur-Betonelemente (EN)
   - Materialmodelle
   - Sicherheitsfaktoren
   - Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit
   - Teilbelastete Bereiche (TBB)
  - Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

Allgemeine Einleitung zur statischen Bemessung von Betonteilen

Die Bemessung von Betonbauteilen erfolgt in der Regel durch Stabelemente (1D-Elemente). Dieses Verfahren ist in allen Normen zur Tragwerksplanung beschrieben, z.B. in DIN EN 1992-1-1, und wird in der täglichen Baupraxis angewendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder wird nicht beachtet, dass das Verfahren nur in den Bereichen akzeptabel ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (als B-Bereiche bezeichnet). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht zutrifft, werden als Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D-Bereiche sind in (Abb. 1) dargestellt. Dies sind z. B. Lagerbereiche, Bereiche, in denen konzentrierte Lasten aufgebracht werden, Stellen, an denen eine abrupte Änderung des Querschnitts auftritt, Öffnungen usw. Bei der Bemessung von Betonbauwerken treffen wir auf viele andere D-Bereiche wie Wände, Konsolen, usw.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 1\qquad Diskontinuitätsbereiche (Navrátil et al. 2017)}}}\]

In der Vergangenheit wurden semi-empirische Bemessungsregeln für die Dimensionierung von Diskontinuitätsbereichen verwendet. Glücklicherweise wurden diese Regeln in den letzten Jahrzehnten weitgehend durch Fachwerkmodelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) ersetzt, die in den aktuellen Bemessungsvorschriften enthalten sind und von den Bemessenden heute häufig verwendet werden. 

Trotz der Entwicklung von Berechnungswerkzeugen in den letzten Jahrzehnten werden Fachwerkmodelle im Wesentlichen immer noch als Handberechnungen verwendet. Ihre Anwendung ist oft mühsam und zeitaufwändig, da mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Außerdem eignet sich diese Methode nicht für den Nachweis von Gebrauchstauglichkeitskriterien (Verformungen, Rissbreiten usw.).

Das Interesse von Tragwerksplanern an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug zur Bemessung von D-Bereichen führte zu der Entscheidung, die neue Compatible Stress Field Method zu entwickeln, eine Methode zur computergestützten Spannungsfeldbemessung, die die automatische Bemessung von Bauteilen aus Beton unter ebener Belastung ermöglicht.

Die Compatible Stress Field Method ist eine kontinuierliche FE-basierte Spannungsfeldanalysemethode, bei der klassische Spannungsfeldlösungen durch kinematische Betrachtungen ergänzt werden. Somit kann die effektive Druckfestigkeit von Beton automatisch auf der Grundlage des Querdehnungszustands berechnet werden (Vecchio und Collins 1986; Kaufmann und Marti 1998) und der EPSF-Methode (Fernández Ruiz und Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (tension stiffening), was den Elementen realistische Steifigkeiten verleiht, und deckt alle Vorschriften der Bemessungsregeln ab (einschließlich der Aspekte der Gebrauchstauglichkeit und der Verformungskapazität), die von den bisherigen Ansätzen nicht konsequent berücksichtigt werden. Das CSFM verwendet allgemeine einachsige konstitutive Gesetze, die in den Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung enthalten sind. Daher müssen die Planer keine zusätzlichen, oft willkürlichen Materialeigenschaften angeben, wodurch sich die Methode perfekt für die Ingenieurpraxis eignet.

Um den Einsatz von computergestützten Spannungsfeldern durch Bauingenieure zu fördern, sollten diese Methoden in benutzerfreundliche Softwareumgebungen implementiert werden. Zu diesem Zweck wurde das CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert, einer neuen benutzerfreundlichen kommerziellen Software, die gemeinsam von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des Projekts DR-Design Eurostars-10571 entwickelt wurde.

1.2 Hauptannahmen und Einschränkungen für CSFM in 2D

CSFM berücksichtigt die maximale Hauptdruckspannung im Beton (σ_c2r) und die Bewehrungsspannungen (σ_sr) an den Rissen, während die Betonzugfestigkeit vernachlässigt wird (σ_c1r = 0), mit Ausnahme ihres Versteifungseffekts auf die Bewehrung. Die Berücksichtigung der Zugverfestigung ermöglicht die Simulation der mittleren Bewehrungsdehnungen (ε_m). Es werden fiktive, rotierende, spannungsfreie Risse berücksichtigt, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a), und das Gleichgewicht an den Rissen zusammen mit den mittleren Dehnungen der Bewehrung wird ebenfalls berücksichtigt. 

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Trotz ihrer Einfachheit wurde gezeigt, dass ähnliche Annahmen genaue Vorhersagen für bewehrte Bauteile unter Scheibenbelastung liefern (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), sofern die vorhandene Bewehrung Sprödbrüche bei der Rissbildung verhindert. Darüber hinaus ist die Nichtberücksichtigung eines Beitrags der Betonzugfestigkeit zur Traglast konsistent mit den Grundsätzen moderner Bemessungsnormen, die größtenteils auf der Plastizitätstheorie basieren.

Allerdings ist das CSFM nicht für schlanke Bauteile ohne Querbewehrung geeignet, da relevante Mechanismen für solche Bauteile wie Rissreibung, Restzugspannungen an der Rissspitze und Dübelwirkung – die alle direkt oder indirekt von der Betonzugfestigkeit abhängen – vernachlässigt werden. Während einige Bemessungsnormen die Bemessung solcher Bauteile auf Basis halbempirischer Regelungen erlauben, ist das CSFM nicht für diese Art von potenziell spröden Strukturen vorgesehen.

Beton

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druckspannungs-Dehnungs-Gesetzen, die von Bemessungsnormen für die Querschnittsbemessung vorgeschrieben werden und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 2c) wird im CSFM standardmäßig verwendet, aber Tragwerksplaner können auch eine vereinfachte elastisch-ideal-plastische Beziehung wählen. Bei der Bewertung nach dem ACI-Code kann nur das Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramm verwendet werden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie es in der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

Die effektive Druckfestigkeit wird automatisch für gerissenen Beton auf Basis der Hauptdehnung (ε₁) mittels des Abminderungsfaktors k_c2 bewertet, wie in Abb. 2c und e dargestellt. Die implementierte Abminderungsbeziehung (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags des fib Model Code 2010 für Querkraftnachweise, der einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis der effektiven Betondruckfestigkeit zur Betondruckfestigkeit enthält, der auf andere Lastfälle nicht anwendbar ist.

Das CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., es wird ein unendlich plastischer Ast nach Erreichen der Höchstspannung angenommen). Diese Vereinfachung erlaubt keine Überprüfung der Verformungskapazität von druckversagenden Strukturen. Ihre Traglast wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2) gemäß (Abb. 2e) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des Abminderungsfaktors \( \eta_{fc} \) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

k_c der globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit ist

k_c2 der Abminderungsfaktor infolge vorhandener Querrissbildung ist

f_c die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons ist (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

Es gibt auch eine Reduzierung des k_c2-Faktors aufgrund der Berechnungsstabilität. Diese Reduzierung beeinflusst nicht die Gesamttragfähigkeit der Bauteile. Unter der Annahme, dass der Wert f_cd die abgeminderte Betondruckfestigkeit (Bemessungswert) darstellt, wird der Wert k_c2 gemäß den folgenden Regeln reduziert.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 ist eine lineare Interpolation zwischen 1,0 und dem aus dem
                                                              Diagramm in Abb. 2f entnommenen Wert
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 wird direkt aus dem Diagramm in Abb. 2f entnommen

Bewehrung

Das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für blanke Bewehrungsstäbe, das üblicherweise von Bemessungsnormen definiert wird (Abb. 2d), wird berücksichtigt. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften in der Bemessungsphase (Festigkeit und Duktilitätsklasse). Eine benutzerdefinierte Spannung-Dehnung-Beziehung kann ebenfalls definiert werden.

Die Zugverfestigung wird berücksichtigt, indem die Eingangs-Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

Verbundmodell

Der Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton wird im Finite-Elemente-Modell durch die vereinfachte starr-ideal-plastische Materialbeziehung gemäß Abb. 2f eingeführt, wobei f_bd der Bemessungswert (abgeminderter Wert) der maßgebenden Verbundspannung ist, der von der Bemessungsnorm für die jeweiligen Verbundbedingungen festgelegt wird.

Dies ist ein vereinfachtes Modell mit dem alleinigen Zweck, Verbundnachweise gemäß Bemessungsnormen zu überprüfen (d. h. Verankerung der Bewehrung). Die Reduzierung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Definition einer bestimmten Kapazität am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie im Folgenden beschrieben wird. 

Bewehrungsbemessung

Workflow und Ziele

Das Ziel der Bemessungstools für Bewehrung in der CSFM besteht darin, den Ingenieuren dabei zu helfen, den Ort und die erforderliche Betonstahlmenge effizient zu bestimmen. Bei diesem Prozess helfen dem Benutzer die folgenden Tools: lineare Berechnung, Topologie-Optimierung und Flächen-Optimierung.

1. Tools zur Betonstahlbemessung berücksichtigen vereinfachte Werkstoffmodelle im Vergleich zu den Modellen, die für die endgültige Bemessung verwendet werden. Daher sollte dieser Schritt als Vorbemessung betrachtet werden, der während des finalen Überprüfungsschritts bestätigt werden muss. Die Verwendung von verschiedenen Tools zur Bewehrungsbemessung wird anhand des in Abb. 5 gezeigten Modells dargestellt, das den Auflager eines gevouteten Trägers darstellt, der einer gleichmäßig verteilten Last ausgesetzt ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Modell zur Veranschaulichung der Verwendung der Bewehrungsentwurfswerkzeuge.}}}\]

Bewehrungsbereiche

Für Bereiche, in denen die Bewehrungsanordnung nicht im Voraus bekannt ist, stehen in der CSFM zwei Methoden zur Verfügung, mit denen der Benutzer die optimale Position der Bewehrungsstäbe bestimmen kann:

Lineare Analyse und Topologie-Optimierung. Beide Methoden bieten für einen bestimmten Lastfall einen Überblick über die Lage der Zugkräfte.

Lineare Analyse

Die lineare Analyse berücksichtigt die Eigenschaften des linearen elastischen Materials und vernachlässigt den Betonstahl. Daher ist es eine sehr schnelle Berechnung, die einen ersten Einblick in die Positionen von Zug- und Druckbereichen bietet. Ein Beispiel für eine solche Berechnung ist in Abb. 6 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Ergebnisse des linearen Analysetools zur Festlegung der Bewehrungsführung}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Flächen unter Druck, blau: Flächen unter Spannung).}}}\]

Topologie-Optimierung

Die Topologie-Optimierung bzw. Fachwerkanalogie ist eine Methode, mit der die optimale Materialverteilung in einem bestimmten Volumen für eine bestimmte Lastkonfiguration ermittelt werden soll. Die in IDEA StatiCa Detail implementierte Topologie-Optimierung verwendet ein lineares Finite-Elemente-Modell. Jedes finite Element kann eine relative Dichte von 0 bis 100% haben, was jeweils die relative verwendete Materialmenge darstellt; diese Elementdichten sind im Optimierungsproblem die Optimierungsparameter. Die resultierende Materialverteilung wird für die gegebenen Lasten als optimal angesehen, wenn sie die Energie der Gesamtverformung des Systems minimiert. Per Definition ist die optimale Verteilung auch die Geometrie, die für die gegebenen Lasten die größtmögliche Steifigkeit bzw. Tragfähigkeit aufweist.

Der iterative Prozess zur Optimierung beginnt mit einer homogenen Verteilung der Dichte. Die Berechnung wird für mehrere Stücke des Gesamtvolumens (20%, 40%, 60% und 80%) durchgeführt, wodurch der Benutzer das praktischste Ergebnis aus den vorgeschlagenen auswählen kann. Die resultierende Form besteht aus einem Fachwerk mit Zug- und Druckstreben und stellt die optimale Form für die gegebenen Lastfälle dar (Abb. 7).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Ergebnisse des Entwurfswerkzeugs zur Topologieoptimierung mit 20\% und 40\% effektivem Volumen}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Flächen unter Druck, blau: Flächen unter Spannung).}}}\]

3 Finite-Elemente Implementierung

3.1     Einleitung

Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die konkreten 2D-Finite Elemente eingebettet, sondern ausdrücklich modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand berücksichtigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelliert werden können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als zugeschnittenes Ende bezeichnet). Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den zugeschnittenen Trägerenden erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone (beschrieben in Abschnitt 3.3), die eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Detailbereich gewährleistet.

3.2     Auflager und Komponenten zur Lastübertragung

Zur Modellierung der meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses stehen in der CSFM viele Auflagertypen (Abb. 9) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 10) zur Verfügung.

3.2.1   Auflager

Das Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 9a), das die Last an der Bauteilkante gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Eine Bereichslagerung dagegen (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten wirksamen Radius platziert werden. Sie wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um die Bereichslagerung herum zu definieren.

Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für Punktauflager. Zum einen gibt es ein Punktauflager mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), mit der Transportanker oder Transportbolzen modelliert werden können.

Das Linienauflager (Abb. 9c) kann an einer Kante (durch Angabe ihrer Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Ebenso ist es möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Auflager bei Druck/Zug oder nur bei Druck).

3.2.2   Komponenten zur Lastübertragung

Das Einbringen von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last über eine Stahlplatte mit festgelegter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. Bereichslasten (Abb. 10b und Abb. 11) werden mit einem bestimmten wirksamen Radius im Beton platziert und durch starre Elemente mit den Knoten benachbarter Bewehrungsstäbe verbunden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Transportanker oder Transportdübel können durch eine Aufhängung modelliert werden (Abb. 10c). Der Anwender kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 10d) verwenden, die eine Erhöhung der Tragfähigkeit von Druckbeton nach Eurocode ermöglicht (diese Komponente der Lastübertragung kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch durch Linienlasten an den Kanten belastet werden, durch allgemeine Polylinien oder durch Flächenlasten, die z.B. das Eigengewicht darstellen (Das bei der Analyse nicht automatisch berücksichtigt wird).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars; (c) load transferred through concrete.}}}\]

3.3     Lastübertragung an zugeschnittenen Trägerenenden

In vielen Fällen müssen nur einige Details (Teile) eines Bauteils modelliert werden, z.B. Trägerstütze, Öffnung in der Trägermitte usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die in IDEA StatiCa Detail instabil, aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Abschnitt zu modellieren, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. beim Modellieren der Auflager von Trägern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übertragungszone erstellt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übertragungszone wird als die Hälfte der Abschnittstiefe ermittelt. Da das einzige Ziel der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine angemessene Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und keine Stop-Kriterien werden hier berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das zugeschnittene Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d.h. es kann sich drehen, muss jedoch eben liegen. Dies geschieht durch Verbinden aller FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten in der Trägheitsmitte des Abschnitts unter Verwendung eines Starrkörperelements (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann auf diesen Knoten angewendet werden, wie in Abb. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

3.4     Geometrische Bearbeitung von Querschnitten

Bei Vouten-Geometrien wird die Breite der zur Modellierung der Voute verwendeten Wandelemente im Vergleich zur ursprünglichen Breite verringert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem Winkel von 45 ° von der Wand ausdehnen würde (siehe Abb. 13), so dass die zuvor erwähnte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass sich die in der CSFM implementierte Methode zur Bestimmung des wirksamen Flansches von der in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird der auf Eurocode basierende, wirksame Breitenflansch deutlich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

Bei in horizontaler Ebene liegenden Vouten (Abb. 14) ist jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

3.5     Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare FEA-Modell wird durch verschiedene Typen von Finite-Elemente erzeugt, die zum Modellieren von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mithilfe von Mehrpunktkopplungen (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, in Bezug zum Beton, relative Position einnehmen. Soll die Überprüfung der Verankerungslänge berechnet werden, werden Verbund- und Federelemente für das Verankerungsende zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

3.5.1   Beton

Beton wird unter Verwendung der viereckigen und dreieckigen Schalenelemente CQUAD4 und CTRIA3 modelliert; diese Elemente können durch vier bzw. drei Knoten definiert sein. Es wird angenommen, dass in diesen Elementen nur ebene Spannungen vorhanden sind, d.h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt

Jedes Element hat vier oder drei Integrationspunkte, die ca. 1/4 seiner Größe haben. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₃ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c3 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Abb. 2 ausgewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Auswirkung der Druckentfestigung das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung gekoppelt wird.

3.5.2   Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stabelemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifheit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbundelementen“ verbunden, die entwickelt wurden, um das Gleitverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Multi-Point Constraint) mit dem Netz, das den Beton darstellt, verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

3.5.3   Überprüfung der Verankerungslänge: Verbundelemente

Die Überprüfung der Verankerungslänge erfolgt durch Implementieren der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4): Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine Schersteifigkeit ungleich Null zwischen den beiden oberen und zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die Beton darstellen.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Abb. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul des Verbund-Schlupf-Verhältnisses G_b ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

wo:

k_g - Koeffizient abhängig von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0.2)

E_c – E-Modul des Betons, angenommen als E_cm

Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes

Zur Überprüfung der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte der finalen Verbundschubspannung f_bd verwendet, die in den jeweils ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 (2015) oder ACI 318-04 angegeben sind. Die Wiederverfestigung des plastischen Zweigs wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

3.5.4   Verifizierung der Verankerungslänge: Federelemente

Die Einstellung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d.h. Biegungen, Haken, Schlaufen…), die die Vorschriften der Bemessungsnormen erfüllen, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die verfügbaren Verankerungstypen in der CSFM umfassen einen geraden Stab (d.h. Keine Reduzierung des Ankerendes), eine Biegung, einen Haken, eine Schlaufe, einen geschweißten Querstab, einen perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Abb. 17 und für Längsbewehrung und in Abb. 18 für Bügel dargestellt. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen nur drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% bei normaler Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net  entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende bei einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, der durch den Koeffizienten der Verankerungsreduktion gegeben ist, wie in Abb. 19a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge ist im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Abb. 15) enthalten, das durch das in Abb. 19b dargestellte Werkstoffmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), ist definiert durch:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

wo:

β – Verankerungsfaktor, basierend auf dem Verankerungstyp

A_s – Querschnitt des Bewehrungsstabes

f_yd – Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.

3.6     Vernetzung

Die im vorherigen Kapitel beschriebenen finiten Elemente werden intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine erfahrene Interaktion durch den Anwender erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

3.6.1   Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Von der Anwendung wird eine empfohlene Elementgröße automatisch, basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabes, berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass mindestens 4 Elemente in dünnen Teilen der Struktur. wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

3.6.2   Bewehrung

Die Bewehrung ist in Elemente unterteilt, die in etwa der Länge der Größe der Betonelemente entsprechen. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

3.6.3   Lagerplatten

Hilfsbauteile, wie Lagerplatten, sind unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet.  Die Knoten des Netzes für die Lagerplatte werden dann unter Verwendung von Interpolationskopplungselementen (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

3.6.4   Lasten und Auflager

Bereichslasten und Bereichslager werden nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 dargestellt; daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Linienauflager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen, basierend auf der festgelegten Breite oder dem festgelegten wirksamen Radius, mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist anti- proportional zum Abstand vom Auflager- oder Lastimpuls.

3.7     Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM Problems wird ein vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus verwendet.The implementation is almost identical to the one presented in.

Generell konvergiert der NR-Algorithmus nicht oft, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt angewendet wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last nacheinander in mehreren Steigerungsstufen anzuwenden und das Ergebnis des vorherigen Laststufe zu verwenden, um die Newton-Lösung einer nachfolgenden Laststufe zu starten. Zu diesem Zweck wurde über dem Newton-Raphson ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird die aktuelle Laststufe auf die Hälfte ihres Werts reduziert und die NR-Iterationen werden wiederholt.

Ein weiterer Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung besteht darin, die kritische Last zu ermitteln, die mit bestimmten „Stop-Kriterien“ übereinstimmt - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stop-Kriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse der letzten Laststufe verworfen und eine neue Steife von der halben Größe der vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last, mit einer bestimmten Fehlertoleranz, ermittelt ist.

Für Beton wurde das Stop-Kriterium standardmäßig auf eine Druckspannung von 5% (d.h. um eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung des Betons) und eine Zugspannung von 7% an den Integrationspunkten der Schalenelemente eingestellt. Unter Zug wurde der Wert so eingestellt, dass zuerst die Grenzdehnung in der Bewehrung erreicht werden kann, die normalerweise bei ca. 5% liegt, ohne die Zugversteifung zu berücksichtigen. Bei Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen ausgewählt, die groß genug sind, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme bei der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Für Bewehrung wird in Bezug auf Spannungen das Stop-Kriterium definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Zugkriterium der Zugfestigkeit der Bewehrung, die den Sicherheitskoeffizienten berücksichtigt.

Das Stop-Kriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α · δ_umax, wobei δ_umax der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

3.8     Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da eine Darstellung der Daten auf diese Weise jedoch nicht praktikabel ist, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie beispielsweise der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an auf Druck belasteten Bauteilkanten lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Tiefe der Druckzone ähnlich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad  Concrete finite element with integration points and nodes: presentation of the results for concrete in nodes and}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finite elements.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z.B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente wie Elemente von Lagerplatten werden nur Verformungen dargestellt.

2.2 Auflager und lastübertragende Bauteile

Um die meisten Situationen während des Bauprozesses zu modellieren, stehen im CSFM viele Arten von Auflagern (Abb. 7) und Bauteilen zur Lastübertragung (Abb. 8) zur Verfügung.

Auflager

Ein Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass Spannungen nicht in einem Punkt konzentriert, sondern über eine größere Fläche verteilt werden. Die erste Möglichkeit ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 7a), das die Last am Rand des Bauteils gleichmäßig über die angegebene Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Das Flächenauflager (Abb. 7d) hingegen kann nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten Wirkungsradius platziert werden. Es wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskorb um das Flächenauflager zu definieren.

Für die genauere Modellierung bestimmter realer Szenarien stehen zwei weitere Optionen für Punktauflager zur Verfügung. Erstens gibt es ein Punktauflager mit einer Auflagerplatte definierter Breite und Dicke (Abb. 7b). Das Material der Auflagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Auflagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zweitens steht ein Hängeauflager (Abb. 7e) zur Verfügung, das zur Modellierung von Hebeankern oder Hebestiften verwendet werden kann.

Ein Linienauflager (Abb. 7c) kann an einer Kante (durch Angabe seiner Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Es ist auch möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten (Auflager auf Druck/Zug oder nur auf Druck) festzulegen.

• Detaillierte Beschreibungen finden Sie unter Auflagertypen in IDEA StatiCa Detail

Lastübertragende Bauteile

Die Einleitung von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Einzellasten kann eine Auflagerplatte (Abb. 8a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last dank einer Stahlplatte mit definierter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Die Einzellast kann entweder direkt auf die Oberfläche der Struktur mit einem definierten Wirkungsradius aufgebracht werden (Last wird auf die Betonelemente aufgebracht) oder über eine spezielle Übertragungseinrichtung, die als Flächenlast (Abb. 8b und Abb. 9) bezeichnet wird. Die Flächenlast ermöglicht die direkte Übertragung der Last auf die definierte Bewehrung innerhalb des Bereichs des Wirkungsradius. Um die korrekte Funktionalität der Flächenlast sicherzustellen, ist es notwendig, eine Gruppe von Bewehrungsstäben zu definieren, die mit der Last verbunden werden (in den Bewehrungseigenschaften). Wenn die verbundene Bewehrung nicht definiert ist, ist der Lastübertragungsmechanismus derselbe wie bei einer Einzellast auf einer Bauteiloberfläche, und die Last wird durch die Randbedingungen auf die Betonelemente übertragen, nicht direkt auf die Bewehrung. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}\]

Hängeanker oder Hebestifte können durch eine Hängelast (Abb. 8c) modelliert werden. Der Anwender kann eine teilweise belastete Fläche (Abb. 8d) verwenden, die eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons gemäß Eurocode ermöglicht (diese Art von lastübertragendem Bauteil kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch mit Linienlasten an den Kanten, durch eine allgemeine Polylinie oder durch Flächenlasten belastet werden. Die Detail-Anwendung ist in der Lage, das Eigengewicht in der Berechnung automatisch zu berücksichtigen.

Lastabtragung an ausgeklinkten Enden von Trägern

In vielen Fällen müssen wir nur ein Detail (einen Teil) eines Bauteils modellieren, wie z.B. eine Balkenauflage, eine Öffnung in der Mitte des Balkens, etc. In solchen Fällen ist es jedoch notwendig, auch den Abschnitt zu modellieren, der den Anschluss an den angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen in diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. bei der Modellierung von Balkenauflagern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen der B-Region und dem untersuchten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Transferzone erzeugt, um eine realistische Spannungsverteilung in dem untersuchten Bereich zu gewährleisten. Die Breite der Transferzone wird auf die Hälfte der Tiefe des Querschnitts festgelegt. Da der einzige Zweck der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine korrekte Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und es werden hier keine Abbruchkriterien berücksichtigt.

Die Kante der Saint-Venant-Zone, die das ausgeklinkte Ende des Trägers darstellt, wird als starr modelliert, d. h. sie kann sich drehen, muss aber in der Ebene ruhen. Dazu werden alle FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten im Trägheitszentrum des Querschnitts über ein Starrkörperelement (RBE2) verbunden. An diesem Knoten können dann die Schnittgrößen des Elements angesetzt werden, wie in Abb. 12 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 12\qquad Übertragung von Schnittgrößen an einem ausgeklinkten Ende.}}}\]

Geometrische Änderung von Querschnitten

Bei Geometrien mit Vouten wird die Breite der Wandelemente, die zur Modellierung der Voute verwendet werden, im Vergleich zur ursprünglichen Breite reduziert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies beruht auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem 45°-Winkel von der Wand aus ausdehnt (siehe Abb. 13), so dass die vorgenannte reduzierte Breite die maximale Breite ist, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass die in CSFM implementierte Methode zur Bestimmung der effektiven Flanschbreite sich von der in 5.3.2.1 DIN EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird die nach Eurocode ermittelte effektive Flanschbreite explizit von den Spannweiten und den Randbedingungen eines Bauwerks beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 13\qquad Breitenreduzierung eines Querschnitts: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - automatisch ermittelte reduzierte Flanschbreite}}}\]

Bei Vouten, die in der horizontalen Ebene liegen (Abb. 14), wird jede Voute in fünf Abschnitte entlang ihrer Länge unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit einer konstanten Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 14\qquad Horizontale Voute: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - eine automatisch in fünf Abschnitte unterteilte Voute}}}\]

Bemessungsgrundlagen: Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare Finite-Elemente-Analysemodell besteht aus mehreren Arten von Finite-Elementen, die zur Modellierung des Betons, der Bewehrung und des Verbunds zwischen diesen Elementen verwendet werden. Die Beton- und Betonstahlelemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mit Hilfe von Multi-Point-Constraints (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, relative Position zum Beton einnehmen. Soll der Nachweis der Verankerungslänge berechnet werden, werden zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen Verbund- und Verankerungsendfederelemente eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente, die unter Verwendung von MPC-Elementen und Verbundelementen auf ein Betonnetz abgebildet werden.}}}\]

Beton

Beton wird mit vier- und dreiseitigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Bei diesen Elementen wird nur von ebenen Spannungen ausgegangen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element hat vier bzw. drei Integrationspunkte, die bei etwa 1/4 seiner Größe platziert sind. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂berechnet. In diesen beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c2 und die Steifigkeiten E₁, E₂ nach dem vorgegebenen Betonspannungs-Dehnungs-Diagramm gemäß Abb. 2 bewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Druckentlastung wegen der Betonrissbildung berücksichtigt wird.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stab"-Elemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifigkeit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen "Bond"-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Verbundverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend über MPC-Elemente (Multi-Point-Constraint) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung untereinander später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Der Nachweis der Verankerungslänge erfolgt durch die Implementierung der Verbundspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungselementen (1D) in das Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ "Verbund" entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ist ähnlich der eines Schalenelements (CQUAD4). Es ist ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat aber im Gegensatz zur Schale nur zwischen den beiden oberen und den beiden unteren Knoten eine Schersteifigkeit ungleich Null. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die den Beton darstellen. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b, als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und dem unteren Knoten δ_u, beschrieben, siehe Abb. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) konzeptionelle Darstellung der Verformung eines Verbundelements; (b) eine Spannungs-Verformungs-Funktion.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul der Bond-Slip-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

mit:

k_g            Koeffizient in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig kg = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (im Fall von EN als E_cm angenommen)

Ø             Durchmesser des Bewehrungsstabs

Für den Nachweis der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte (faktorisierte Werte) der Verbundspannung f_bd verwendet, die in den jeweils gewählten Bemessungsnormen angegeben sind. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Das Anbringen von Verankerungen an den Bewehrungsstäben (z. B. Haken, Schlaufen...), die den Vorschriften der Bemessungsregeln entsprechen, ermöglicht die Verringerung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als "Verankerungskoeffizient" bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die vorgesehene Reduzierung in l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabes an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, die durch den Verankerungsabnahmekoeffizienten gegeben ist, wie in Abb. 15a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Modell für die Reduzierung der Verankerungslänge:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Verankerungskraft entlang der Verankerungslänge des Bewehrungsstabs; (b) Zusammenhang zwischen Schlupf und Verankerungskraft.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende berücksichtigt (Abb. 15), das durch das in Abb. 15b dargestellte konstitutive Modell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), beträgt:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

mit :

β             der Verankerungskoeffizient auf der Grundlage der Verankerungsart,

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd           der Bemessungswert (faktorisierter Wert) der Streckgrenze der Bewehrung.

2.6 Vernetzung

Die finiten Elemente sind intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch ohne profunde Benutzerinteraktion generiert. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile werden gemeinsam vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird von der Anwendung automatisch auf Basis der Größe und Form der Struktur berechnet, wobei der Durchmesser des größten Bewehrungsstabs berücksichtigt wird. Darüber hinaus gewährleistet die empfohlene Elementgröße, dass in dünnen Bereichen der Struktur, wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, mindestens 4 Elemente erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen sicherzustellen. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert ist jedoch ausreichend, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Tragwerksplaner können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße wählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße anpassen.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente mit annähernd gleicher Länge wie die Betonelementgröße unterteilt. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze generiert sind, werden sie mit Verbundelementen miteinander verbunden, wie in Abb. 13 dargestellt.

Auflagerplatten

Konstruktive Hilfsbauteile, wie Auflagerplatten, werden unabhängig vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird als 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Auflagerplatten-Netzes werden dann über Interpolations-Randbedingungselemente (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

Lasten und Lager

Flächenlasten und Flächenlager sind nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 16 dargestellt. Daher ist es notwendig, die Bewehrung um diese herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des effektiven Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Linienlager und Linienlasten werden über RBE3-Elemente basierend auf der angegebenen Breite oder dem effektiven Radius mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist umgekehrt proportional zum Abstand vom Lager oder Lastimpuls.

• Lesen Sie mehr über die Verbindung zwischen einzelnen Lasten und dem Netz in Allgemeine Beschreibung der Lastimpulse in der Detail-Anwendung

2.7 Lösungsmethode und Laststeuerungsalgorithmus

Ein standardmäßiger vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus wird verwendet, um die Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems zu finden. 

Im Allgemeinen konvergiert der NR-Algorithmus häufig nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Ein übliches Vorgehen, das auch hier angewendet wird, besteht darin, die Last schrittweise in mehreren Inkrementen aufzubringen und das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements als Ausgangspunkt für die Newton-Lösung des nächsten zu verwenden. Zu diesem Zweck wurde ein Laststeuerungsalgorithmus auf Basis des Newton-Raphson-Verfahrens implementiert. Falls die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Wertes reduziert und die NR-Iterationen werden erneut durchgeführt.

Ein zweiter Zweck des Laststeuerungsalgorithmus besteht darin, die kritische Last zu finden, die bestimmten „Abbruchkriterien" entspricht – insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit dem Bisektionsverfahren ermittelt. Falls das Abbruchkriterium an einer Stelle im Modell überschritten wird, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen und ein neues Inkrement mit der halben Größe des vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden wird.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium auf eine Dehnung von 5 % unter Druck (d. h. etwa eine Größenordnung größer als die tatsächliche Bruchdehnung von Beton) und 7 % unter Zug an den Integrationspunkten der Schalenelemente festgelegt. Unter Zug wurde der Wert so gewählt, dass die Grenzdehnung der Bewehrung, die üblicherweise bei etwa 5 % liegt – ohne Berücksichtigung der Zugverfestigung – zuerst erreicht werden kann. Unter Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen so gewählt, dass er groß genug ist, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar sind, aber klein genug, um keine zu großen Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Für die Bewehrung wird das Abbruchkriterium in Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium unter Zug der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitskoeffizienten. Derselbe Wert wird für das Kriterium unter Druck verwendet.

Das Abbruchkriterium in Verbundelementen und Verankerungsfedern ist α·δu_max, wobei δu_max der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

2.8 Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden für Beton- und Bewehrungselemente getrennt dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in den Knoten präsentiert, beispielsweise als Maximalwert der Druckspannung aus benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 18). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an gedrückten Rändern von Bauteilen lokal unterschätzen kann, wenn die Finite-Element-Größe ähnlich wie die Tiefe der Druckzone ist.

Abb. 18 - Finites Betonelement mit Integrationspunkten und Knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und in finiten Elementen.

Die Ergebnisse für die finiten Bewehrungselemente sind entweder konstant für jedes Element (ein Wert – z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte – für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente, wie Elemente von Auflagerplatten, werden nur Verformungen dargestellt.

3.1 Grenzzustände und Rissbreitenberechnung

Die Bewertung der Struktur mit dem CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Bemessungslastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit. Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse setzt voraus, dass das Verhalten des Bauteils im Grenzzustand der Tragfähigkeit zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei Gebrauchslastniveaus nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Materialmodelle (mit einem linearen Ast des Spannung-Dehnung-Diagramms für Beton) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird empfohlen, den nachfolgend dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit

Die verschiedenen, von spezifischen Bemessungsnormen geforderten Nachweise werden anhand der direkt vom Modell gelieferten Ergebnisse bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Bauteil effizient bemessen ist, wird dringend empfohlen, eine Vorabanalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Auswahl der maßgebenden Lastkombinationen.
• Berechnung ausschließlich der Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit (GZT).
• Verwendung eines groben Netzes (durch Erhöhung des Multiplikators der Standard-Netzgröße in den Einstellungen (Abb. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Ein solches Modell berechnet sehr schnell und ermöglicht es den Tragwerksplanern, die Konstruktionsdetails des Bauteils effizient zu überprüfen und die Analyse so lange erneut durchzuführen, bis alle Nachweisanforderungen für die maßgebenden Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Vorabanalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit einzubeziehen und eine feine Netzgröße zu verwenden (die vom Programm empfohlene Netzgröße). Der Benutzer kann die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Abb. 19).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. der berechnete Wert/Grenzwert aus der Norm) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden mittels verschiedener Darstellungen angezeigt, wobei Druck im Allgemeinen in Rot und Zug in Blau dargestellt wird. Globale Mindest- und Höchstwerte für die gesamte Struktur können hervorgehoben werden, ebenso wie Mindest- und Höchstwerte für jeden benutzerdefinierten Teil. In einem separaten Programmreiter können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugverfestigung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Darüber hinaus können Lasten und Auflagerkräfte für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Nachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß der anwendbaren Norm in ähnlicher Weise wie für den GZT nachgewiesen.

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Materialmodelle, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein vollständiger Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Darüber hinaus wird der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von Normen gefordert). Daher sind die vereinfachten Modelle für die Gebrauchstauglichkeit nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

Rissbreitenberechnung und Zugverfestigung

Rissbreitenberechnung

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten – stabilisierte und nicht-stabilisierte Rissbildung. Anhand des geometrischen Bewehrungsgrads in jedem Bereich der Struktur wird entschieden, welches Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Rissbildung und POM für nicht-stabilisierte Rissbildung).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Während das CSFM für die meisten Nachweise ein direktes Ergebnis liefert (z. B. Bauteilkapazität, Durchbiegungen…), werden Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt durch die FE-Analyse bereitgestellt werden, gemäß der in Abb. 20 beschriebenen Methodik. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reines Rissöffnen) angenommen (Abb. 20a), was mit den grundlegenden Annahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s= θ_e). Gemäß (Abb. 20b) kann die Rissbreite (w) in die Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu folgendem Ausdruck führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

wobei θ_b die Stabneigung ist.

Bitte beachten Sie, dass das Programm Werte von θ_r und θ_b < π/2 anzeigt. Das bedeutet, dass die vorherige Gleichung für Fälle gilt, bei denen die Bewehrung und der Riss durch verschiedene Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verlaufen, wie in Abb. 20 dargestellt, wo die Bewehrung durch den I. und III. Quadranten und der Riss durch den II. und IV. Quadranten verläuft. Für Fälle, bei denen die Bewehrung und der Riss durch dieselben Quadranten verlaufen, muss die Gleichung wie folgt angepasst werden:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Die Komponente w_b wird konsistent auf Basis der Zugverfestigungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für Bereiche mit vollständig ausgebildetem Rissbild werden die berechneten mittleren Dehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt über den Rissabstand (s_r) integriert, wie in (Abb. 20c) angegeben. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Position der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

An konkaven Ecken der berechneten Struktur werden besondere Situationen beobachtet. In diesem Fall legt die Ecke die Position eines einzelnen Risses fest, der sich vor der Entstehung weiterer benachbarter Risse nicht-stabilisiert verhält. Diese zusätzlichen Risse entstehen im Allgemeinen nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was es rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als wären sie nicht-stabilisiert (Abb. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Zugverfestigung

Die Implementierung der Zugverfestigung unterscheidet zwischen stabilisierten und nicht-stabilisierten Rissbildern. In beiden Fällen wird der Beton standardmäßig als vor der Belastung vollständig gerissen angenommen.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Stabilisierte Rissbildung

Bei vollständig ausgebildeten Rissbildern wird die Zugverfestigung mithilfe des Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Abb. 22a – eingeführt, das trotz seiner Einfachheit hervorragende Vorhersagen des Tragverhaltens liefert (Burns 2012). Das TCM setzt eine gestufte, starr-ideal-plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τ_b = τ_b0 =2 f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b =τ_b1 = f_ctm für σ_s > f_y voraus. Indem jeder Bewehrungsstab als Zugstab behandelt wird – Abb. 22b und Abb. 22a – kann die Verteilung der Verbundschubspannungen, der Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder -dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für s_r = s_r0 kann ein neuer Riss entstehen oder auch nicht, da in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c1 = f_ct gilt. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h. s_r = λs_r0, mit l = 0,5…1,0. Unter Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die mittlere Dehnung des Zugstabs (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrungsstäbe, das standardmäßig im CSFM verwendet wird, ergeben sich folgende geschlossene analytische Ausdrücke (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

wobei:
E_sh           der Verfestigungsmodul des Stahls E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø            Durchmesser des Bewehrungsstabs,

s_r                Rissabstand,

σ_sr           Bewehrungsspannungen an den Rissen,

σ_s            tatsächliche Bewehrungsspannungen,

f_y                Streckgrenze der Bewehrung.

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail verwendet standardmäßig den mittleren Rissabstand bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse. Der mittlere Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands angenommen (λ = 0,67), was den Empfehlungen auf Basis von Biege- und Zugversuchen folgt (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es ist zu beachten, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) verwendet wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, daher ist die Zuordnung einer geeigneten, zwischen den Rissen auf Zug beanspruchten Betonfläche zu jedem Bewehrungsstab entscheidend. Ein automatisches numerisches Verfahren wurde entwickelt, um den entsprechenden effektiven Bewehrungsgrad (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich schräger Bewehrung, zu definieren (Abb. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Nicht-stabilisierte Rissbildung

Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr, d. h. dem Mindestbewehrungsgrad, bei dem die Bewehrung die Risslast ohne Fließen aufnehmen kann, entstehen entweder durch nicht-mechanische Einwirkungen (z. B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

wobei:

f_y              Streckgrenze der Bewehrung,

f_ct             Betonzugfestigkeit,

n              Verhältnis der Elastizitätsmoduli, n = E_s / E_c .

Für üblichen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρ_cr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr wird die Rissbildung als nicht-stabilisiert betrachtet, und die Zugverfestigung wird mithilfe des Pull-Out-Modells (POM) implementiert, das in Abb. 22b beschrieben ist. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses ohne mechanische Wechselwirkung zwischen separaten Rissen, vernachlässigt die Verformbarkeit des Betons auf Zug und setzt dieselbe gestufte, starr-ideal-plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung voraus, die auch im TCM verwendet wird. Dies ermöglicht es, die Bewehrungsdehnungsverteilung (ε_s) in der Umgebung des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu bestimmen. Da der Rissabstand bei einem nicht vollständig ausgebildeten Rissbild unbekannt ist, wird die mittlere Dehnung (ε_m) für jeden Lastzustand über den Abstand zwischen den Punkten mit null Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit (f_t) am Riss erreicht (l_ε,avg in Abb. 22b), was zu folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens von verbundbewehrten Stäben, das schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugverfestigung) für den gebräuchlichsten europäischen Bewehrungsstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5 %) ist in Abb. 22c-d dargestellt.

Bemessung nach Eurocode

Die Bemessung mit Hilfe des CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für die Gebrauchstauglichkeit und eine für die LF-Kombination im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse wird davon ausgegangen, dass das Tragverhalten des Elements zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei den Gebrauchstauglichkeitslaststufen nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter konstitutiver Modelle (mit einem linearen Zweig des Betonspannungs-Dehnungs-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen.

4.1 Materialmodelle (EN)

Beton - GZT

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druck-Konstitutivgesetzen, die in EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten vorgeschrieben sind und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das in EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (1) festgelegte Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 24a) wird standardmäßig im CSFM verwendet, aber Tragwerksplaner können auch eine vereinfachtere elastisch-ideal-plastische Beziehung gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (2) (Abb. 24b) wählen. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es bei der klassischen Stahlbetonstruktur-Bemessung üblich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_cu2 (ε_cu3) mit dem Wert 5 % angenommen, während EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt keine Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die unter Druck versagen. Die Grenztragfähigkeit f_cd gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.3 wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn neben dem Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Abb. 25)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit durch den Abminderungsfaktor \(\eta_{fc}\) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

α_cc der Beiwert ist, der die Langzeitauswirkungen auf die Druckfestigkeit und ungünstige Auswirkungen aus der Art der Lastaufbringung berücksichtigt. Er wird gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.6 (1) festgelegt. Der Standardwert beträgt 1,0.

k_c ist der globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit

k_c2 ist der Abminderungsfaktor infolge vorhandener Querrissbildung

f_ck ist die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}\]

Beton - GZG

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Konstitutivmodelle, die für die Analyse im Grenzzustand der Tragfähigkeit verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langzeiteffekte

Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse werden die Langzeiteffekte des Betons mithilfe eines effektiven unendlichen Kriechbeiwertes (\(\varphi\), standardmäßig mit dem Wert 2,5 angenommen) berücksichtigt, der den Sekantenelastizitätsmodul des Betons (E_cm) gemäß EN 1992-1-1, Abschn. 3.1.4 (3) bzw. 7.4.3 (5) wie folgt modifiziert:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Bei der Berücksichtigung von Langzeiteffekten wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten unter Berücksichtigung des Kriechbeiwertes (d. h. unter Verwendung des effektiven Elastizitätsmoduls des Betons, E_c,eff) berechnet, anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet (d. h. unter Verwendung von E_cm). Zur Durchführung von Kurzzeitnachweisen wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Abb. 26 dargestellt.

Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert und sind gemäß EN 1992-1-1, Bild 3.1 zu berechnen.

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für blanke Bewehrungsstäbe gemäß EN 1992-1-1, Abschn. 3.2.7 (Abb. 27) verwendet. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften während der Bemessungsphase (Festigkeit und Duktilitätsklasse). Sofern bekannt, kann die tatsächliche Spannung-Dehnung-Beziehung der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, vergütet und selbstanlassend, …) berücksichtigt werden. Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden, in diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannung-Dehnung-Diagramms mit einem horizontalen oberen Ast erlaubt keine Überprüfung der konstruktiven Dauerhaftigkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der normativen Duktilitätsanforderungen erforderlich.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Zugverfestigung (Abb. 28)  wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabes modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

4.2 Sicherheitsbeiwerte

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren ist konform mit modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle ausschließlich standardmäßige Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwert-Format ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Einwirkungen mit Lastfaktoren multipliziert und die charakteristischen Materialeigenschaften mithilfe der jeweiligen, in den Bemessungsnormen vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerte abgemindert – genau wie bei der konventionellen Betonbemessung. Die in EN 1992-1-1 Abschn. 2.4.2.4 vorgeschriebenen Materialsicherheitsbeiwerte sind standardmäßig eingestellt, der Benutzer kann die Sicherheitsbeiwerte jedoch in den Norm- und Berechnungseinstellungen ändern (Abb. 29).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Lastsicherheitsbeiwerte müssen vom Benutzer in den Kombinationsregeln für jede nichtlineare Kombination von Lastfällen definiert werden (Abb. 30). Für alle in Idea StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind Teilsicherheitsbeiwerte bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Durch die Verwendung geeigneter benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsbeiwerten können Benutzer mit dem CSFM auch nach der globalen Widerstandsfaktormethode (Navrátil et al. 2017) rechnen; dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen die Verwendung der globalen Widerstandsfaktormethode für nichtlineare Analysen. Bei vereinfachten nichtlinearen Analysen (wie dem CSFM), die nur jene Materialeigenschaften erfordern, die auch bei konventionellen Handberechnungen verwendet werden, ist es jedoch nach wie vor vorzuziehen, das Teilsicherheitsformat zu verwenden.

4 Verifizierung der Strukturelemente

Die Bewertung der Struktur mittels CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: Eine für Kombinationen der Gebrauchstauglichkeit, und eine für Kombinationen des Grenzzustandes der Tragfähigkeit. Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit geht davon aus, dass das Grenzverhalten des Elements ausreichend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Level der Gebrauchstauglichkeit nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Werkstoffmodelle (mit einem linearen Zweig des Spannungs-Dehnungs-Diagramms des Betons) für die Analyse der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird die Verwendung des unten dargestellten Workflows empfohlen, bei dem als erster Schritt die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit durchgeführt wird.

4.1     GZT Analyse

Die Bewertung der verschiedenen Überprüfungen, die für bestimmte Bemessungsnormen erforderlich sind, erfolgt auf der Grundlage der direkten Ergebnisse des Modells. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, Bewehrungsfestigkeit und Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Strukturelement effizient konstruiert ist, wird dringend empfohlen, eine vorläufige Analyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Auswahl der am meisten kritischen Lastkombinationen treffen
• Nur Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) berechnen
• Ein grobes Netz verwenden (Erhöhen des Multiplikators der Standardnetzgröße, Abb.23

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen, sodass Konstrukteure die Detaillierung des Strukturelements effizient überprüfen und die Analyse erneut ausführen können, bis alle Anforderungen an die Überprüfung für die kritischsten Lastkombinationen erfüllt sind. Sind alle Anforderungen an die Überprüfung dieser vorläufigen Analyse erfüllt, wird empfohlen, die vollständigen Grenzlastkombinationen und die Verwendung einer feinen Netzgröße (vom Programm empfohlene Netzgröße) einzubeziehen. Der Anwender kann die Netzgröße durch den Multiplikator (Wert von 0,5 bis 5) ändern.

Die Basisergebnisse und Überprüfungen (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d.h. der aus der Norm berechnete Wert/Grenzwert) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden anhand verschiedener Diagramme angezeigt, in denen die Druckbereiche in der Regel in rot und Zugbereiche in blau dargestellt werden.

Es können globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur sowie Minimal- und Maximalwerte für jedes benutzerdefinierte Teil hervorgehoben werden. In einem separaten Tab können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsanteile (effektiv und geometrisch) angezeigt werden, die zur Berechnung der Zugversteifung der Bewehrungsstäbe verwendet werden. Darüber hinaus können Lasten und Lagerreaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

4.2     GZG Analyse

GZG Auswertungen erfolgen für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen.

Die Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen werden gemäß der geltenden Norm auf ähnliche Weise wie für die im GZT festgelegten nachgewiesen.

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die finale Analyse des GZT verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund wird angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft. Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von Beton bei Druck nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit, verringern aber gleichzeitig nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Erreichen der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie von Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.

4.2.1  Berechnung der Rissbreite

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten: stabilisierte und nicht stabilisierte Risse. Entsprechend dem geometrischen Bewehrungsanteil in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welche Art von Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Rissmodelle und POM für nicht stabilisierte Rissmodelle).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Während die CSFM für die meisten Überprüfungen (z.B. Bauteilkapazität, Durchbiegungen ...) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Ergebnisse der Rissbreite aus den Ergebnissen der Bewehrungsdehnung berechnet, die direkt durch die FE-Analyse, gemäß der in Abb. 24 beschriebenen Methodik, bereitgestellt werden. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) betrachtet (Abb. 24a), die mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s = θ_e). Gemäß Abb. 24b kann die Rissbreite (w) in Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu folgender Definition führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

mit θ_b als Stabneigung.

Die Berechnung der Komponente w_b erfolgt konsistent, basierend auf den in Abschnitt 1.2.4 vorgestellten Zugversteifungsmodellen, durch Integration der Bewehrungsdehnungen. Für diese Bereiche mit voll entwickelten Rissmustern werden, wie in Abb. 24c angegeben, die berechneten durchschnittlichen Dehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt entlang des Rissabstands (s_r) integriert. Während dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Position der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Ergebnissen der Rissbreite führen, die mit den von der Norm geforderten Werten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen werden an konkaven Ecken der berechneten Struktur beobachtet. In diesem Fall definiert die Ecke die Position eines einzelnen Risses, der sich nicht stabilisiert verhält, bevor sich zusätzliche benachbarte Risse entwickeln. Diese zusätzlichen Risse entstehen in der Regel nach dem Bereich der Gebrauchstauglichkeit (Mata-Falcón 2015), der die Berechnung der Rissbreiten in einem solchen Bereich rechtfertigt, als wären sie nicht stabilisiert (Abb. 25), unter Verwendung des in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Modells.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

4.4 Teilbelastete Flächen (PLA)

Bei der Bemessung von Betonkonstruktionen begegnen wir zwei großen Gruppen von teilbelasteten Flächen (PLA) – die erste umfasst Auflager, während die andere Verankerungsbereiche umfasst. Gemäß den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur EN 1992-1-1 Kap. 6.7 (Abb. 34) sind für teilbelastete Flächen lokales Quetschen des Betons und Querzugkräfte zu berücksichtigen. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c0 kann die Drucktragfähigkeit des Betons je nach Bemessungsverteilungsfläche A_c1 um bis zum Dreifachen erhöht werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

Die teilbelastete Fläche muss ausreichend mit Querbewehrung bewehrt sein, die so bemessen ist, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltzugkräfte überträgt. Für die Bemessung der Querbewehrung in teilbelasteten Flächen wird gemäß Eurocode das Strebe-und-Zugband-Verfahren verwendet. Ohne die erforderliche Querbewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons in Betracht zu ziehen.

Teilbelastete Flächen im CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Mit dem CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten, wobei der Einfluss der erhöhten Druckfestigkeit des Betons in teilbelasteten Flächen berücksichtigt wird. Da das CSFM ein Scheiben- (2D-) Modell ist und teilbelastete Flächen eine räumliche (3D-) Aufgabe darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Wenn die Funktion „teilbelastete Flächen" aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden für die angegebene Betonbauteilgeometrie und die Abmessungen jeder PLA vollständig in 3D gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der teilbelasteten Fläche erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, was hauptsächlich daran lag, dass die Zuordnung von Eigenschaften zum Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegel-Geometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Abb. 35 und Abb. 37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last über die PLA schrittweise auf die Bemessungsverteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist in jedem Teil des Kegels variabel und fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A_c0) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\)  hinzugefügt (wobei A_real die im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist), und diese Fläche nimmt linear bis auf null zur Bemessungsverteilungsfläche (A_c1) hin ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Die Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis der Bemessungsverteilungsfläche zur belasteten Fläche gemäß EN 1992-1-1 (6.7) erhöht. Es ist zu beachten, dass es sich hierbei um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einer teilbelasteten Fläche nicht exakt beschreiben kann, da der tatsächliche Verlauf wesentlich komplizierter ist. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche. Darüber hinaus werden Querspannungen in diesem Bereich korrekt eingeführt.

Bei der Verwendung der Funktion „Teilbelastete Flächen" zur Simulation der Erhöhung der Betondrucktragfähigkeit ist der Normnachweis separat gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 6.7 (2) zu führen. Die durch die Bewehrung übertragenen Querzugkräfte (Spaltzugkräfte) werden automatisch überprüft.

4.5 Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Nachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß EN 1992-1-1 auf ähnliche Weise wie für den GZT überprüft.

Spannungsbegrenzung

Die Druckspannung im Beton ist zu begrenzen, um Längsrisse zu vermeiden. Gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 7.2 (2) können Längsrisse auftreten, wenn das Spannungsniveau unter der charakteristischen Lastkombination einen Wert k₁f_ck überschreitet. Die Betondruckspannung wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c = σ_c2 aus der FE-Analyse für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und dem Grenzwert σ_c,lim ausgewertet. Dann gilt:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

wobei:

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons,

k₁         =0,6.

Wenn die Spannung im Beton unter den quasi-ständigen Lasten kleiner als k₂f_ck gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 7.2(3) ist, darf lineares Kriechen angenommen werden. Wenn die Betonspannung k₂f_ck überschreitet, sollte nichtlineares Kriechen berücksichtigt werden (siehe EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kann nur lineares Kriechen gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.4 (3) angenommen werden (siehe Materialmodelle (EN)).

Unzulässige Rissbildung oder Verformung kann als vermieden angesehen werden, wenn unter der charakteristischen Lastkombination die Zugspannung in der Bewehrung den Wert k₃f_yk nicht überschreitet (EN 1992-1-1 Abschn. 7.2 (5)). Die Tragfähigkeit der Bewehrung wird als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_s = σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim ausgewertet:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}\]

wobei:

f_yk        Streckgrenze der Bewehrung,

k₃        =0,8.

Durchbiegung

Durchbiegungen können nur für Wände oder isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Träger beurteilt werden. In diesen Fällen wird der Absolutwert der Durchbiegungen berücksichtigt (verglichen mit dem Ausgangszustand vor der Belastung), und der maximal zulässige Wert der Durchbiegungen muss vom Anwender festgelegt werden. Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht überprüft werden, da es sich dabei im Wesentlichen um instabile Strukturen handelt, bei denen das Gleichgewicht durch das Hinzufügen von Endkräften erfüllt wird und die Durchbiegungen daher unrealistisch sind. Kurzzeitige u_z,st oder langzeitige u_z,lt Durchbiegungen können berechnet und mit benutzerdefinierten Grenzwerten verglichen werden:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

wobei:

u_z         kurz- oder langzeitige Durchbiegung, berechnet durch FE-Analyse,

u_z,lim    Grenzwert der Durchbiegung, definiert durch den Anwender.

Rissbreite

Rissbreiten und -richtungen werden nur für Langzeiteinwirkungen (unter Verwendung von E_c,eff) für Kombinationen berechnet, bei denen die Rissbreitenauswertung aktiviert ist. Nachweise auf Basis benutzerdefinierter Grenzwerte gemäß Eurocode werden wie folgt dargestellt:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

wobei:

w         Rissbreite, berechnet durch FE-Analyse,

w_lim     Grenzwert der Rissbreite, definiert durch den Anwender.

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten (abgeschlossene und nicht abgeschlossene Rissbildung). Im allgemeinen Fall (abgeschlossene Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird dann aus den drei nächstgelegenen (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung) Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Literatur

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Anhänge zum Download

• Theoretical Background 20.pdf (PDF, 2,1 MB)